Articles on the paradoxes: "There is no movement!"

Return to the list of articles on paradoxes

The reader must remember the curious episode from Cervantes's novel Don Quixote. Sancho Panza did not have time to get used to his governor's position, as he was made a cunning test.
A certain estate is divided into two halves by a large river. A bridge is thrown across the river, and a gallows is standing ominously in the vicinity. The law says: "Everyone passing through the bridge across this river must be declared under oath, where and why he is going, whoever will tell the truth, let those pass unchecked, and whoever lies, will be executed without hindrance by hanging."
And it was necessary to happen that one day a certain person, sworn in, said: he swears he came here, so that he ... was hurled at this very gallows and for nothing else. It was enough to see the bewilderment of the judges! In fact, if we let a strange stranger go further, it will mean that he has broken his oath and is punishable by law. On the other hand, how to hang it? After all, he swore, as if only then he came to be hanged, - so his oath is not false, and on the basis of this same law, he must be left untouched.
Poor Sancho could not boast of the wisdom of the biblical king Solomon. However, he resignedly undertook an uncomfortable affair and nothing could be summed up as follows: "That half of the person who told the truth let them miss, and the one that lied, let them hang." "But, senor governor," protested the stunned opponent, "if you cut a man into pieces, he will surely die, and then neither of these articles of the law will be executed." Meanwhile, the law demands that it be respected in its entirety! " The seignior governor, finally put in a dead end, by the kindness of his soul, advised simply to release the strange petitioner on all four sides.
So, the law was broken. But what could a good simple Sancho do that could not even sign for his decision? Well, while we, the readers of Cervantes, being fully armed with logic and mathematics, can we cope with such puzzles after 400 years? To understand this issue, we will have to look into the wonderful world of paradoxes, to go beyond the common sense.
Paradoxes are known from time immemorial. The famous Cretan philosopher Epimenides, who lived in the VI century BC, attributed a rather unflattering response about his compatriots: "All Cretans are liars." Only now is the misfortune: Epimenides himself is also a Cretan! It turns out that if Epimenides speaks the truth, then he is a liar, then he raises an abscond to his countrymen and himself, that is, he says untruth. How, after all, is a false or true statement utterly discrediting the inhabitants of the island-the cradle of human culture?
The paradox of Epimenides, otherwise known as the "liar paradox," is also found in a less aphoristic, but more powerful form: "I lie," or "the statement I am now pronouncing is false." Quoted in the quotes, obviously, can not be without a contradiction, neither true nor false. This version of the paradox belongs to Ewboolid (IV century BC).
In 1913, the English mathematician Jordan added to the treasury of paradoxes such On one side of the card is inscribed: "The approval on the back of this card is true." What is this statement? Turning the card over, you read: "The approval on the back of this card is false." So go figure out what's what. If you believe the first message, then the second is correct. But if the second is correct, then the first is wrong! And vice versa.
In the ancient "crocodile dilemma" the situation is as tragicomic and ridiculous as that of Cervantes. A crocodile kidnaps a child. The monster promises the parents to return the child, if the father guesses, the child will give him the crocodile or not. What should a poor monster do if the father suddenly says that the crocodile will not return the child to him?
We often resort to arguing with the services of the argument "there are no rules without exceptions", forgetting that this expression itself is a rule and comes out, too, should have exceptions. Paradox? Undoubtedly! And it arose because the sanctions declared by the law, we applied to the law itself. So be careful with such arguments: they are fraught with logical dodges!
An elegant logical paradox, formulated in 1908 by German mathematician Kurt Grelling, is curious. To enter into the course of the matter, let us analyze the definition of the autologous (self-applicable) name of the adjective. Most adjectives do not have the quality that it stands for. For example, the word "red" in itself does not have a red color, the word "fragrant" does not smell. But the adjective "Russian" is really Russian, "three-syllable" - three-syllable, "abstract" - abstract, etc. Each of these adjectives, in the terminology of Grelling, is autologous, that is, it applies to itself, having the same quality as that it gives other concepts. A different matter is heterologous, that is, non-self-applicable adjectives. Say the word "trisyllabic" - in itself is not at all trisyllabic, "infinite" has finite dimensions, "concrete" - in the sense of abstract. The paradox of Grelling arises from the question: to which class is the adjective "non-self-applicable" attributed? Is it self-applicable or not? Assume that the adjective "non-self-applicable" is not self-applicable. Then it (according to the definition of Grelling) is self-applicable! And since it is self-applicable, on what basis did it be called non-self-applicable ?!
Here is another logical surprise. Consider the expression:
"The smallest natural number that can not be determined by less than thirty-six syllables". Meanwhile, the sentence just written with the help of thirty-five syllables (count and see for yourself!) Defines nothing more than a number which, by definition, can not be determined less than a set of thirty-six syllables!
Such nonsense is full of history of logic. The reader can try his hand trying to get out of the mentioned semantic labyrinths. (Since the problem arose, no solution has been found that scientists would unreservedly agree with.) However, is it rightly said: "semantic labyrinths"? Every labyrinth, however complicated it may be, is a way out. And if the visitors of the famous Cretan maze for too long wandered through the intricacies of his moves, invariably falling into the clutches of the Minotaur, then they themselves were to blame. Mark people by the simplest methods the way, then, even without a developed ability to navigate, they would receive no less reliable means of salvation than the notorious thread of Ariadne. In other words, in such cases we are led only by a disregard for the laws of logic and geometry. Paradoxes are another matter. Their wording is so simple, so transparent, that there is nowhere to wander, there is no labyrinth as such! But no matter how sophisticated our knowledge in the field of logic and mathematics, no, even the most sharpened, the sword of reason can not cut this logical Gordian knot ...
And one more clarification. The paradox is usually understood to mean something that contradicts our intuition, our everyday experience, our immediate sensations. Paradoxical in this sense was the revelation of astronomers-heliocentrists: the Sun does not revolve around the Earth, but the Earth around the Sun. But no matter how our intuition revolted, the logic of scientific thinking inexorably brings us to such a conclusion. Meanwhile, there are paradoxes of a different kind. Using the same logical apparatus, the same methods of reasoning - and after all, they were polished for thousands of years and all our knowledge is based on them! - we inevitably arrive at an insoluble contradiction. Hence, we are talking about imperfection, flaws, deeply rooted in the very logical system of our thinking.
True, the reader may have a question: who needs all this casuistry? And is it really necessary?
The above semantic absurdities are not just funny logic tricks. More than once paradoxes have been associated with the restructuring of the foundations of thinking.

Especially instructive is the epic of Zeno's famous aporias (paradoxes), which twenty-five centuries ago turned out to be a real sensation. However, it is not just a sensation that briefly traumatizes the psyche of a man in the street, and then completely disappears from the head. They have had a noticeable impact on the progress of mathematics, And still do not go from the pages of serious mathematical, logical, philosophical works, where scientists break their spears and heads: have the difficulties created by these terrible aporias been overcome?
... Who among the readers of Homeric "Iliad" does not remember the scene of the chase of the terrible Achilles behind the "helmet-shaking", but orderly Hooker-shattered? The strong ran ahead, but pursued a lot of the strongest ... True, the race around Troy still ended in Hector's defeat. But not in running! In a deadly battle. And before the fight, Achilles had to stop, never catching up with the enemy. Well, the adversary was clever and fleet-footed. And if he was clumsy and quiet?
Yes, graceful and swift-footed mighty Achilles, son of Peleus, hero of the Trojan War, sung by Homer. And how awkward, like a slow-moving turtle, everywhere hears the standard of slowness and sluggishness! Does she compete in speed with the legendary runner? But the ancient sage Zenon believed that Achilles would never catch the turtle. The philosopher's belief was based on the fact that when the pursuer reaches the place where the pursuer was at the time of the start, the catch-up runner will advance, albeit slightly, further. So, on a new little road, Achilles will have to catch up with the turtle again. But while the pursuer reaches this second point, the fugitive will again move forward. And so on ad infinitum. If this continues without end and end, then how will Achilles outstrip the turtle?
On the other hand, every schoolchild knows from his own everyday experience that he is not Achilles, he can easily overtake not only the tortoise, but, what's good, and the teacher himself - it's only necessary to sound the bell, announcing the end of the lesson.
But is there no "Achilles' heel" in the very reasoning of Zeno?
In the classical course of logic written by Minto, the famous runner easily outstrips his unworthy rival, although he gives her a head start not only at a distance of 100 fathoms (here old Russian, not ancient Greek measures of length are used, but it does not matter), but also in speed : It does not move at full strength - only ten times faster than a turtle. That is, in essence, he walks to himself without hurry, confident in victory. True, having reached the place from which the slow-moving Zeno's henchman set off on the road-road, Peleev's son will see that she managed to creep another 10 sazhens forward. While Achilles will overcome these 10 fathoms, the turtle will leave for another sazhen. Well, the quick-witted does not need to cover any fathoms there. And the clumsy meanwhile will move - let's one tenth sazhen, but still forward, away from the pursuer! With each step the distance is reduced. There will obviously be countless multiplicities of such steps. No problem: modern mathematics has learned to summarize infinite sequences. And Minto builds an infinite series: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ... We have a decreasing geometric progression. Its amount can easily be calculated by any present schoolboy, if, of course, he has already gone through algebra according to the textbook, it seems, for the eighth grade; This amount is 111 1/9. After making a simple calculation, Minto concludes: "The sophist wants to prove that Achilles will never catch up with the tortoise, but in fact only proves that Achilles distills her between the 111th and 112th fathoms in their path."
It seems to be correct. It seems to be logical. Alas, the triumphant refuteor did not answer the embarrassed sophist, for the question was posed differently: not when, but how such a meeting is possible ...
Let the reader himself judge the ancient sage and his opponent. In order to obtain a third 1/9 sazhen in the answer, it is not necessary to resort to the summation of an infinite series. You can solve the problem in the usual algebraic way, taking for an unknown path, which creeps up to the moment of "rendezvous" reptile beauty, flirting fleeing from its self-confident pursuer.
If we have an unknown, it turns out to be an X-ax. Then the path, marched by Achilles, will be more than the distance separating the runners during the start, on a segment covered with a turtle before meeting with Achilles: 100 + x. Now, take a closer look: the running time from start to meeting is the same for both runners. And the speed of Achilles is ten times higher. This means that the path Achilles will make is ten times larger than the tortoise (x). Write the equation: (100 + x): x = 10. Count: x = 11 1/9. So many turrets crawled turtle? And Achilles? 100 + x = 111 1/9
It's hard to believe that Zeno could not find the desired segment of the path by such elementary means. It is even more difficult to imagine that Zeno never drove or seen anyone else, like the others do. No, it's not for nothing that the ancient thinker formulates the problem in such a way that the notion of an infinite series appears in it! He is not tormented by doubt: can the body make a path composed of pieces? The thinker is embarrassed by another: how can a consecutive synthesis of an infinite number of segments be possible if it continues forever without reaching its limit?
Not reaching? And the point, which is 111 1/9 sazhens from the start, is this the same limit? There is. That one! But was the question limited to what he was like? No! To how the variable (in this case the sum of the series) reaches its limit. And does it reach at all? We called the sum variable. The way it is. Remember the series drawn by Minto: 100 + 10 + 1 + 0.1 + 0.01 + 0.001. As long as it contains six members. Their sum is 111.111. This number is less than 111 1/9. True, a little bit, but still less! The difference will become even smaller if we add one more term to the sequence, the seventh one: 100 + 10 + 1 + 0.01 + 0.01 + 0.001 + 0.0001. The amount has changed, now it is 111.1111. Seven members - seven characters in number - one, noticed? If there are eight members, the amount will again be extended by one: 111.11111. And so on. But whether you take a hundred, thousand, billion billion members, still your number with a colossal tail of units will be less than 111 1/9. The amount changes, grows, but does not reach the limit. And yet we know how to calculate the limit to which it aspires. This is done so. We take a formula for the sum of the finite (we emphasize: not infinite!) The number of terms. It is easily deduced - glance in the school textbook of algebra. Let's substitute in it the characteristics of our geometric progression. The first term is 100. The denominator of the progression is one-tenth (0.1) - after all, each next term is ten times less than the previous one. Suppose we want to calculate the sum for 777 members. We get: 100 / (1-0,1) * [1- (0,1) ^ 777 + 1] It is easy to see that the number in front of the square brackets is 111 1/9. And what about the contents of the square brackets? Slightly less than one. And it will be the closer to unity, the higher the exponent in the fraction 0.1 enclosed in parentheses. But look closely at the exponent - this is the number of members of the series plus one! And now the fun begins. We pass from a finite number of terms to an infinite number. The exponent for (0.1) increases without limit. What happens with the degree itself - with one tenth, multiplied by itself so many times that it is impossible to imagine? It becomes an infinitesimal quantity tending to zero. And if so, then, as written in your textbook, we have the right to simply drop it, equating it to zero. In square brackets there is one. Hence, the required limit is 111 1/9. But let us listen to what the mathematician (with the words of Academician AA Markov) says about this: "It is important to note that we do not include its limit 0 as a set of values ​​infinitely small." And the French mathematician Mansion expresses even more unambiguously: "We call the limit of a variable a constant value, to which the variable vaguely approaches, never reaching it." But Zeno spoke the same thing, clotting abstract mathematical symbols in vivid images, inspired by beautiful ancient myths! No matter how far we go in the consistent integration of the shorter Achilles' "moving" movements, we will never get the whole way to meet the turtle! As Homer says ("Illyada" in Gnedich's translation):
"This run away, and the other is trying in vain,
So the heroes: he will not catch up, or this one does not go away ... "
The difficulties noted by Zeno in the rigor of the interpretation of the concepts of "limit" and "continuity" can be illustrated by a simpler example. Imagine: in your room a turtle crawls on the floor. And suddenly - Stop! - The animal rested his nose against the wall. The path of the turtle is a variable quantity that grows to a certain limit. The limit is the wall. Rather, the point that limits the trajectory of the turtle. But this point does not belong to an infinite set of points of the territory! Moreover: the tortoise way in general it is impossible to determine the last point - the one where the snoring nose is found at the time of impact, the one that precedes the extreme - the point of the wall. Here we inadvertently touched another Zeno's aporia. If the first in the history of mathematics appears under the name "Achilles", then the second one is named "Dichotomy". This ancient Greek word translates as: "infinite division in half." Before completing the whole journey, the tortoise must pass through half of it, Zeno said. But before she reaches the middle of the path, she has to get to the mark that cuts through this half. However, before you leave behind a quarter of the way, you need to go through its "octopus" ... Uf! So it is possible to continue indefinitely. In short, Zeno drew the conclusion: the movement will never begin!
Geometrically, the paradox can be interpreted as follows. We take a piece and divide it in half. The left half is cut again in two. The left quarter is also in two. Then the left axis, sixteenth, one thirty-second, and so on-without end. Does not this remind us of Achilles chasing a tortoise or a turtle journey through a roomy dead end? Only now the role of the wall is played by a snuffling nose. Its tip is a point of rest. And where does the first point of motion begin? After all, we can not find the point immediately following the boundary of the segment, just as we could determine the point immediately preceding the limiting point in the example with the tortoise that encountered the obstacle!
Zeno's mistake, according to Professor SA Bogomolov, lies in the fact that the ancient philosopher concluded from the impossibility of imagining the beginning of the movement that the movement itself and the reliable knowledge of it are impossible. It is fully explained by the level of mathematical knowledge of his era and does not diminish his merits. In the "Dichotomy" Zenon pointed out the difficulties in comprehending the concepts of "continuum" (continuous sequence of all points of the line) and "movement." But mathematicians have long been accustomed to the fact that the mind is coping with questions, which are powerless intuition. And yet we must nevertheless recognize that there is some unsolvable remnant in the Dichotomy. This is an infinite series, which has no beginning. This is the same dialectic of infinity, which acquires special sharpness as applied to the sequence of moments of time.
Our next pass is "Strela", the third aporia. The third in a row, but not in importance. A paradox awaits us, which, according to Professor AA Bogomolov, is known as the "apotheosis of the Zenon dialectic".
"There is no movement," said the sage brave ... "
This Pushkin quotes Zeno. And he continues:
"... The other was silent and began to walk before him.
He could not protest more strongly.
Praised all the answer is convoluted.
But, gentlemen, this funny incident
Another example of memory leads me:
After all, every day before us the sun goes,
However, the stubborn Galileo is right! "
Pushkin quotes the writer Daniil Danin in his book "The Inevitability of a Strange World." And continues: "Zeno asked:" The arrow is flying, at any moment it can be caught somewhere, where it is at that instant, where does the movement come from? "So the movement is a series of states of rest? Is it not absurd?
The reasoning was flawless. But the proof of Diogenes, who began to walk, was also irrefutable. Could there be a way out of this obvious contradiction - is the movement composed of moments of rest? The way out was to be found and found.
To do this, mathematics and mechanics had to learn how to operate with infinitely small magnitudes. They had to learn to view the state of rest as the zero limit of a vanishingly small displacement. This makes the differential calculus. And they had to learn how to add such zeros, not being surprised that the infinite - the addition of infinitely small motions can give a very real final segment of the path. This makes the calculus integral. In Zeno's reasoning there was a noticeable logical error. He decomposed the movement of the arrow into an infinite number of states of rest, and added them according to the arithmetic logic of finite sums: if you take as many zeros, you still get zero. And so he said: "There is no movement." And the whole point is that no matter how great the arithmetic is "somehow," it is not an infinity. Diogenes was silent only and could refute Zeno, saying that he would not have done anything, because he did not have the words necessary then. "
Well, it's probably true that Diogenes would not have the right words to object - it's true, not to Zenon himself, but to one of his followers (Zenon died more than a hundred years before Diogenes appeared). Well, and today? What are these magic words, what can be parried Zeno's attacks? Obviously, differential and integral calculus, is not it? Well, let's try to reason with the ancient troublemaker with the most powerful arguments of mathematical analysis.
The bow rings, the arrow trembles,
And, puffing, died Python ...
And your face wins a victory,
Belvedere Apollo!
The murder score, drawn by Pushkin, is graphically depicted by a ballistic curve, and ideally (if we do not take into account the resistance of the air), the parabola along which the arrow moves from the bowstring to the target. The coordinates are as follows: lift height (vertical axis) and flight time (horizontal axis). Now we will differentiate. How to calculate speed? Clear business as: wrote off mileage from a speedometer and divided for a while, for which the car has made its way. Right. Only in this way will we find the average speed. And she certainly changed! At first the car was standing - the speed was zero. Then he started off - the speed began to increase, exceeded the permitted limit; There was a whistle of a policeman, we had to give a brake - the speed abruptly began to wane, until the car again became like a dug out. If you calculate the average speed, it turns out that you do not have to fine anything! However, the guard can not be fooled. He, maybe, does not know the differential calculus, but he knows something about violations. How, after all, do we determine the exact value of the velocity at any given time?
Let's go back to the arrow: its speed is described by a simpler mathematical expression. Only here everything is the other way around: at the moment of start with the bowstring, the speed of the boom (it is a question of the speed of its lifting) is maximal. At the highest point of the path, it is zero. At the moment of the murder, Python again reaches its highest value. At any time it is different than before. Nevertheless, we can grasp the regularity with which it changes from point to point.
Imagine that the flight of an arrow launched by a radiant god into a hideous monster will be photographed on film. And we stopped the demonstration of the film somewhere in the middle, snatching out any shot. By this point, the arrow (it's better to talk about one of its points, say, the center of gravity) has risen to a certain height. Turn the tape drive on again, but just enough so that the next frame froze before our eyes. The center of gravity, after extending its route to a tiny piece, will be at a new point where the lift height has increased. Let us denote this increment of height as "delta es". And at the same time, the symbol "delta te" denotes the time interval between adjacent frames. Then the average speed of ascent on this path will be expressed by a simple fraction of delta s / delta t. Have paid attention - speed at us again the average! Yes, but the smaller the "delta te", the closer the value of our fraction to the true speed at the first point. If the camera shutter would click a thousand times more often when shooting, then the time interval between two neighboring frames would be reduced by exactly a thousand times. The value of the "instantaneous" speed would be more accurate. And yet, as long as our share of the time axis is finite (not infinitely small), the ratio of "delta es" to "delta te" gives only the average speed between the two moments. And what if to make "delta te" infinitely small? In other words, after presenting the second point of the track mobile, press and tighten it to the rigidly seated first point? Then the "delta te" will rush to zero. "Delta es" too. And their attitude? It will become more accurate and more accurate to transmit the value of the boom speed at the moment of time captured in the first frame. But only in the limit it will be instantaneous speed at that very moment. This limit of the ratio for delta t, tending to zero, is represented by a two-story sign "de es de te" and is called a derivative function (in our case, the derivative of the path in time). (Ds and dt are called differentials (from the Latin word "difference").
Приведенное построение можно повторить применительно к любой точке нашей кривой. Впрочем, не обязательно только нашей, а вообще любой кривой. Конечно, вид производной будет неодинаковым для разных кривых, не говоря уже о том, что ее значение меняется от точки к точке у каждой кривой. Но теперь мы знаем закон поведения производной: она меняется так же, как и угол наклона касательной к кривой в данной точке. И геометрический смысл произведений - тангенс этого угла. Ведь что такое наши "дельта эс" и "дельта тэ", как не катеты прямоугольного треугольника! Треугольник построен на гипотенузе с теми самыми краевыми точками, которые отмечали положение центра тяжести стрелы на обоих кадрах. Когда же мы начали сдвигать эти соседние точки, гипотенуза слилась с касательной.
Так вот: отыскав производную, мы продифференцировали функцию - в нашем случае уравнение параболы. Зная производную, мы можем найти и первоначальную (первообразную) функцию, то есть проделать обратную операцию - интегрирование. Приемы дифференцирования и интегрирования едва ли сложнее алгебраических правил. Но нас сейчас волнует не это. Какой смысл таится в дроби ds/dt? Здесь и числитель и знаменатель вроде бы... нули! Но ведь отношение нулей - абсурд!
Чтобы разобраться в парадоксе, придется снова совершить экскурс в прошлое и ответить на вопрос: а сумел ли Ньютон отразить "стрелу", пущенную Зеноном? Не постигла ли его детище - анализ бесконечно малых - злая участь Пифона, убиенного Аполлоном Бельведерским?
...24 августа 1624 года в Париже должен был состояться публичный диспут. Но перед самым открытием дискуссии один из ее устроителей, де Клав, был арестован. Другому, Виллону, пришлось скрыться. Специально изданный парламентский указ гласил: запретить полемику; в торжественной обстановке перед лицом собравшихся разорвать в клочья заранее объявленные тезисы; всех организаторов выслать в 24 часа за пределы города, лишив их права вообще въезжать в столичный округ; строго-настрого запретить профессорам любое упоминание крамольных тезисов в лекциях.
Всяк, кто устно или печатно нарушит сей рескрипт, подлежит смертной казни... Четырнадцатый тезис разорванной программы диспута провозглашал атомистическую доктрину. В нем черным по белому значилось, что Аристотель, то ли по невежеству, то ли по злому умыслу, высмеял учение, согласно которому мир состоит из атомов. Между тем-де это мировоззрение как нельзя лучше соответствует разумным основам подлинной натурфилософии...
Но при чем тут Зенон? Речь-то шла об идеях Демокрита!
Атомистика Демокрита была реакцией на выпады элейской школы, во главе которой стоял Зенон. Интересно и важно: Демокрит был апостолом атомизма не только в физике, но и в математике. Причем обосновывал необходимость атомистического миросозерцания ссылкой не на физические явления, отнюдь, а на чисто математические затруднения, возникающие в том случае, если считать пространство непрерывным. В дозеноновском естествознании все тела считались беспредельно делимыми. This is on the one hand. А с другой - допускалось, что каждый предмет состоит из бесчисленного множества непротяженных и далее неделимых "телец". На эти-то противоречивые принципы и обрушился Зенон.
Если тело делимо беспредельно, говорил он, то оно должно быть бесконечно большим. Как бы далеко ни заходило дробление, всякий раз будут получаться протяженные частицы, размеры коих никогда не обратятся в нуль. Поскольку же деление бесконечно, постольку и геометрических "атомов" будет бесчисленное множество! А если так, то сумма бесконечно большого количества протяженных и далее неделимых элементов окажется неизмеримо огромной. Если же, наоборот, точка как предел деления не имеет размеров, то сложение любого, сколь угодно большого количества таких "нулей" никогда не даст протяженного тела!
Логическая диверсия Зенона произвела ошеломляющее впечатление. Ученые всполошились; всем стало ясно, что теоретические основы геометрии продуманы недостаточно глубоко, внутренне противоречивы и несостоятельны.
Вот тогда-то, среди обломков, оставшихся после разрушительной деятельности элеатов, школа Демокрита и принялась восстанавливать теоретически фундамент геометрии. Приклеив единомышленникам Зенопа ярлык "афизиков" ("лжеученых"), она попросту отмахнулась от их дьявольских искушений. Предел делимости материи и пространства был провозглашен сызнова. Так в ответ на сугубо негативную элейскую критику появилась позитивная платформа, на которой можно было - худо ли, бедно ли - дальше возводить храм математики и механики. Но тут Аристотель взял и торпедировал эту конструктивную платформу! Что ж, он был по-своему прав: ведь противоречия, подмеченные Зеноном, делали позиции Демокрита очень и очень шаткими...
Более Полутора десятков столетий довлели над наукой аристотелевские идеи.
Лишь в эпоху позднего Возрождения ученые возвысили свой голос против схоластических догм. Даже невзирая на то, что, посулив особо рьяным критиканам смертную казнь, французский парламент тем самым приравнял авторитет Платона и его ученика Аристотеля к авторитету евангелия... Идея непрерывности, противоречившая повседневной интуиции, была отринута мыслителями эпохи Возрождения. В своих "Беседах и математических доказательствах, касающихся двух новых отраслей науки", Галилей рассуждает о бесконечно малых промежутках между отдельными бесконечно малыми участками прямой. Из письма Кавальери к Галилею явствует, что оба они, как, впрочем, и Кеплер, контрабандой вынашивали идею "неделимого". А взгляды Кеплера и Кавальери, предтеч Ньютона в создании новой математики, - чистейшей воды геометрический атомизм!
"Непосредственная и непрерывающаяся связь между математическим атомизмом древности и нынешним дифференциальным и интегральным исчислением не подлежит сомнению, - говорит профессор С. Я. Лурье в книге "Теория бесконечно малых у древних атомистов". - Историю метода бесконечно малых следует начинать не с Кавальери, а с Демокрита".
Итак, исчисление бесконечно малых было построено на атомистическом фундаменте. Но тогда, выходит, парадоксы Зенона остались непреодоленными? Вспомните наше недоумение с дифференциалами: что это - нули или не нули? Какой смысл таится в дроби, где и числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю? Этот вопрос глубоко волновал другого создателя анализа - Лейбница, немецкого коллегу Ньютона. Обозначение ds/dt, введенное Лейбницем, рассматривалось как отношение бесконечно малых величин - дифференциалов (ds и dt. Эта символика до сих пор смущает любого из нас, когда мы принимаемся штудировать дифференциальное исчисление. Из выражения: предел дельта s/дельта t = ds/dt, стремящемся к нулю, - невольно напрашивается вывод, будто "дельта тэ" стремится сразу к двум пределам: к dt, отнюдь не равному нулю, и в то же время к нулю, а "дельта эс" к ds и к нулю! А все потому, что перед нами "ископаемые останки" атомистической эпохи в математике. Стоит допустить, что кривая составлена из мельчайших "атомов", как пределом для приращения "дельта эс" или "дельта тэ" будет уже не Нуль, то есть ничто, а высота или ширина этой неделимой геометрической крупицы: ds или соответственно dt. Теперь, с позиций Лейбница, безо всяких ухищрений легко поддается уразумению и равенство: предел дельтаS/дельтаt=dS/dt. Ибо при атомистичесском подходе предел дельта s равен ds, а предел дельтаt равен dt. Вот именно: при атомистическом. При том самом, который в пух и прах был разнесен еще Зеноном. При том самом, от которого давным-давно уже ушла матемачика. Ну, а сегодня, когда математика вновь стоит на позициях непрерывности, тоже кстати зело подорванных Зеноном? Дают ли о себе знать коварные аргументы элеатов?
Откройте прекрасную книгу Р. Куранта и Г. Роббинса "Что такое математика". Там сказано: дифференциалы как бесконечно малые величины из математического обихода изгнаны окончательно и не без позора. И все же сам термин "дифференциал" прокрался обратно через черный ход. Он как ни в чем не бывало по-прежнему фигурирует в обозначениях, сохранившихся до сего времени и сбивающих с толку ds/dt.
Правда, сегодня в dt математики видят небесконечно малую величину, а конечное приращение "дельта тэ". Что же касается ds/dt, то эта "дробь" в целом стала просто символом результата, который получается при переходе к пределу: действительно, прежде чем переходить к пределу, можно избавиться от будущего "нуля" в знаменателе. Для этого числитель дроби ds/dt раскрывают; ведь за этим символом стоит обычная алгебраическая разность. Разность между двумя выражениями одного и того же математического закона, но для двух разных точек кривой. В формула разности появляется сомножитель "дельта тэ". Тот же самый, что стоит в знаменателе! А раз так, то и числитель и знаменатель можно сократить на "дельта тэ". Ведь это не возбраняется до тех пор, пока "дельта тэ" не равно нулю. Так "дельта тэ" исчезает из знаменателя. Правда, в формуле для числителя после сокращения остается еще одно "дельта тэ". Но потом, когда мы переходим к пределу, это второе "дельта тэ" обращается в нуль. Так - сложно ли, просто ли - но для каждой функции удается ловким маневром миновать нелепость: ds/dt=0/0. Конечно, Ньютон и Лейбниц тоже умели находить интегралы и производные такими способами. Но они не признавали за предельной процедурой исключительного права служить опорой новых методов. Они рассуждали примерно так: да, интеграл и производную можно вычислить как пределы. Но чем же, черт побери, являются эти понятия сами по себе?
Вот, к примеру, наклон кривой. Он существует сам по себе, независимо от хитроумного геометрического построения, сопровождавшегося предельным переходом. То же самое можно сказать и об интеграле, который истолковывается как площадь плоской фигуры, ограниченной осями координат и нашей кривой: мол, такое понятие, как площадь, имеет некий абсолютный "смысл в себе", и вроде бы нет надобности привлекать вспомогательные операции с пределами.
Иначе рассуждают современные математики.
"Ни Ньютон, ни Лейбниц, - говорится в книге Р. Куранта и Г. Роббинса, - не смогли занять ту отчетливую позицию, которая нам кажется простой и естественной теперь, когда понятие предела полностью выяснено. Их пример господствовал больше столетия, в течение которого сущность дела была затемнена бесплодными рассуждениями о "бесконечно малых величинах", о "дифференциалах" и т. д. Считалось, что такие понятия доступны лишь немногим избранным, обладающим настоящим математическим чутьем, и что анализ поэтому, по существу, очень труден, так как не всякий обладает этим чутьем или может его развить. Интеграл, аналогичным образом, рассматривался как сумма "бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых". Существовало представление, будто такая сумма есть интеграл, или площадь, в то время как вычисление ее значения как предела последовательности конечных сумм обыкновенных слагаемых рассматривалось как некий придаток. Теперь мы попросту отбрасываем желание "непосредственно" объяснить интеграл и определяем его как предел последовательности конечных сумм. Этим путем все трудности и устраняются, и все, что ценно в анализе, приобретает твердую основу".
Твердую основу? Но прежде чем ответить, давайте подведем итог: ни Ньютон, ни Лейбниц не парировали выпадов Зенона. Они просто отмахнулись от них. Не поступи они именно так, быть мо-жет, еще больше отсрочилось бы открытие дифференциального и интегрального исчисления, этого мощнейшего инструмента расчетов в современной науке и технике. Так или иначе, сколь бы ни были велики заслуги творцов математического анализа, противоречия, подмеченные Зеноном, остались неразрешенными. Ньютон и Лейбниц считали точки наименьшими из существующих, но все же протяженными "тельцами". Разлагая кривую на бесконечно большое коли-чество бесконечно малых частей, они приходили к пределу, который считали отношением высоты к ширине геометрического "атома" - точки.
Сегодня атомистические представления отвергнуты математикой. И хотя приведенное геометрическое истолкование широко практикуется в преподавании, уже почти никто не объясняет ds/dt по Лейбницу - как отношение бесконечно умаляющихся "дельта эс" и "дельта тэ". Ибо можно обойтись вообще без геометрических построений. Можно просто исключить "дельта тэ" из знаменателя путем чисто формальной процедуры. "Чисто формальной" - значит не прибегающей к интуитивным представлениям. В нашем случае к зримым моделям - чертежам. Надо сказать, что все графические построения геометрии опираются именно на интуицию, на чувственный опыт. В том числе и наша картинка с трассой стрелы, с треугольничком, с тангенсом угла наклона касательной, с Аполлоном, Пифоном и прочими образами "живописного искусства" геометрии. (Куда завело Лейбница чрезмерное доверие к подобным геометрическим аналогиям, мы уже знаем). Но в том-то и дело, что математический анализ вовсе не обязан исходить из графических построений! Оперируя собственным набором правил и символов, он в состоянии формулировать свой выводы совершенно независимо от геометрии, хотя, впрочем, многие утверждают, что без интуитивных представлений математике все равно не обойтись. Как бы там ни было, графики играют лишь вспомогательную роль: они наглядно истолковывают сложные понятия, а это всегда облегчает восприятие. К сожалению, не все понятия доступны нашей интуиции. Формально описывать их мы можем, а вот зримо вообразить себе - увы... Так ведь это-то противоречие и подметил Зенон! Конечно, представить себе Диогена, дефилирующего перед носом искусителя, - дело пустячное. Можно даже нарисовать траекторию этой самоуверенной демонстрации здравого смысла - скорей всего она будет прямолинейной, Увы, чересчур прямолинейной. Ибо нарисовать и обсчитать ее по всем правилам формальных процедур мало. Элеаты ждали ответа на вопрос: как из неуловимых моментов покоя складывается движение?.. А из непротяженных точек протяженный отрезок - трасса той же стрелы? Дискретно или непрерывно пространство? Как представить себе структуру подобных совокупностей точек?
Правда, нельзя отказать опровергателю Зенона в остроумии. Но и в наивности тоже: неужто он всерьез полагал, будто молчали-вая апелляция к житейскому опыту обезоружит элейских "нигилистов"? Она еще в древности считалась неубедительной: дело-то шло о математической сущности движения, а не о его физической видимости. Впрочем, только ли в древности?
"Движение есть сущность времени и пространства, - говорил Ленин. - Два основных понятия выражают эту сущность: (бесконечная) непрерывность и "пунктуальность" (= отрицание непрерывности, прерывность). Движение есть единство непрерывности (времени и пространства) и прерывности (времени и пространства). Движение есть противоречие, есть единство противоречий".
"Еще со времен Зенона и его парадоксов, - продолжают Р. Курант и Г. Роббинс, - все попытки дать точную, математическую формулировку интуитивному физическому или метафизическому понятию непрерывного движения были безуспешными. Нет затруднений в продвижении шаг за шагом по дискретной последовательности значений а1, a2, a3... Но когда приходится иметь дело с непрерывной переменной х, пробегающей целый интервал значе-ний на числовой оси, то описание того, как х "приближается" к заданному значению X, затруднено тем, что принимаемые значения из интервала не могут быть указаны последовательно в порядке их возрастания. В самом деле, точки прямой представляют везде плотное множество, и не существует точки, "следующей" за данной. Остается неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать ее основные линии в научных, логических терминах. Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие".
Парадоксально, но факт налицо: понятие "дифференциал" и тесно связанное с ним понятие "интеграл", взращенные на атомистической почве, противоречат всему строю нынешней математики, пронизанной идеей непрерывности! Как же быть? Вот прогноз профессора Лурье: "Несомненно, что в будущем математика, если она будет построена на принципе непрерывного, либо откажется от этой почтенной реликвии и научится обходиться исключительно лишь ясными и отчетливыми понятиями производной, первообразной функции и предела суммы (эту попытку сделал еще Лагранж), либо лучше приспособит отжившие понятия "дифференциал" и "интеграл" к современным математическим взглядам, покончив с последними следами атомистических "представлений".
Хотелось бы обратить внимание читателя на одну лишь мысль этого интереснейшего пророчества: вместо бяки интеграла, этой "почтенной реликвии атомистической эпохи", предлагается обойтись понятием предела суммы. Но так ли уж оно отчетливо и ясно? И не Зенон ли первый подметил внутреннее противоречие, присущее этому понятию?
"В последнее время, - утверждает профессор С. А. Богомолов в книге "Актуальная бесконечность", - уточняя понятия анализа, мы удалились от Ньютона. Логическое совершенствование способа пределов вновь привело к торжеству Зеноновых апорий, разве что слова "Ахилл не догонит черепаху" на современный язык перевели бы так: переменная не достигает своего предела". И далее: "Знаменитые апории Зенона Элейского более 2000 лет привлекают к себе внимание ученых и философов; все снова и снова стараются их опровергнуть... Пройти мимо апорий Зенона, объявив их пустыми софизмами, было бы совершенно неправильно, здесь элейская школа с необыкновенной силой и глубиной критиковала возможность движения, а ведь понятие движения лежит в основе всей нашей техники...
Созданный Ньютоном современный анализ оказался могучим средством и для теоретических и для практических приложений. Между тем аргументы Зенона против основных понятий математики и механики, несмотря на многочисленные попытки их опровергнуть, оставались неопровергнутыми.
Во второй половине XIX столетия, вообще подвергшего основы математики тщательному пересмотру, появились работы немецкого ученого Георга Кантора. Учение Кантора пролило новый свет на апории Зенона и объяснило в них то, что вообще поддается объяснению. Но было бы поспешным утверждать, что оно опровергло их до конца..." Теория множеств Кантора действительно заставила по-новому взглянуть на каверзные апории Зенона. Она выявила качественное различие между бесконечностями. В чем же оно, это различие? Нанесите на листок миллиметровки две точки. Дистанция между ними, очевидно, конечна. Тем не менее ограниченный ими отрезок прямой вмещает в себе бесконечность. И даже не одну.
Поставьте посередине между двумя точками третью. Точно так же поделите надвое каждую из половинок, затем четвертушек, осьмушек и т. д. Все плотнее и плотнее будут ложиться точки. Но вам так и не удастся превратить ваше многоточие в сплошную линию, даже если бы вы каким-то чудом обрели вдруг бессмертие. "татуирование" бумаги будет длиться вечно. Ибо ни одна из ваших точек-середин не станет последней. Всегда можно сделать следующий шаг - поделить пополам только что полученные отрезочки, сколь бы малы они ни были. Однако предположим, что все бесчисленное множество наших точек-середин уже имеется "в наличии", так что нам не нужно получать его бесконечным рядом шагов. Получилась вроде бы сплошная линия, без пустых промежутков между точками. Тем не менее мы можем продолжить "иглоукалывание", но уже иным способом: будем делить первоначальный отрезок не пополам, а на три части, затем на девять частей, двадцать семь и так далее. Мы получим новое бесконечное множество, причем для любой точки этого нового множества найдется место на отрезке, не занятое точками прежнего множества. Такой же результат получится и при делении отрезка на 5 частей, 25, 125 и так далее; на 7, 49 и т. д. Коротенький отрезочек, а способен вместить сколько угодно таких бесконечных множеств! Пусть теперь нам удалось "вытатуировать" на миллиметровке линию, составленную из всех без исключения рациональных точек. Оно будет, как скажет математик, "всюду плотным". Иначе говоря, на нашем отрезке не найдется такого места, где бы мы не встретили какую-нибудь из точек нашего множества. И тем не менее рациональные точки не покрывают всего отрезка целиком! Не верите? Давайте построим такой квадрат, чтобы его диагональю служил наш отрезок, ограниченный двумя делениями миллиметровки. Возьмем сторону квадрата и уложим ее на диагональ, совместив левые концы отрезков. Тогда правый конец стороны квадрата опять-таки придется аккурат на "вакантное" место! Перед нами иррациональная точка. И таких точек на нашу диагональ можно "перенести" со стороны квадрата сколько угодно. Например, середина стороны квадрата, середины обеих половинок, затем четырех четвертушек и так далее - все это иррациональные точки. Совершенно очевидно, что полученное таким путем множество будет бесконечно большим. Точки, полученные делением стороны квадрата на три, на девять, двадцать семь долек и так далее, тоже окажутся иррациональными и тоже дадут бесконечное множество. Аналогичная процедура осуществима и с остатком диагонали, не прикрытым стороной квадрата. И для любой точки каждого из этих новых бесконечных множеств найдется свое место на отрезке. Место, не занятое рациональными точками! Это выглядит потрясающе: ведь множество рациональных точек всюду плотно - и вдруг содержит "пустоты", уготованные для иррациональных точек! Неспроста, знать, открытие иррациональных точек, сделанное в глубокой древности, привело в замешательство античных геометров.. И опять-таки никакая интуиция не поможет нам отличить соседние точки - рациональную и иррациональную - или установить порядок их чередования. Абстрактно мыслить, формально описывать подобное геометрическое сообщество (континуум) мы можем, но представить в зримых образах... Математики уверяют, что это вообще недоступно нашей интуиции. А ведь мы каждый день видим континуум! Перекладинка типографской литеры на этой странице, траектория зеноновской стрелы, маршрут Диогена - словом, любой конечный отрезок или бесконечная линия - все это континуумы, непрерывные последовательности всех рациональных и иррациональных точек, взятых в их неразрывной совокупности. И одно из кардинальнейших свойств континуума - его несчетность. Это замечательное открытие принадлежит Кантору. На первый взгляд, тут и открывать-то нечего: раз множество бесконечно, то ясно, что его элементы (числа, точки) не перечтешь. Ан нет, оказывается, есть и счетные множества, даром что бесконечные. Понятно, определение "счетный" здесь до некоторой степени условно. Начав пересчитывать элементы бесконечного множества, мы заранее обрекаем себя на неудачу - эта процедура никогда не закончится. Пересчитать по элементам в буквальном смысле можно лишь конечное множество (по крайней мере в принципе). Но что такое "пересчитать"? Это значит сопоставить элементы какого-то множества числам натурального ряда: 1, 2, 3, 4, 5, 6... Именно так поступает педантичный гардеробщик, выдавая по порядку номерки взамен верхней одежды, снимаемой посетителями. При этом устанавливается взаимно однозначное соответствие между номерами жетонов и шляпами (или плащами, галошами, портфелями и так далее). Правда, последовательный пересчет не всегда удобен - даже в случае конечных множеств, "Пойдем, например, на танцплощадку, - иллюстрирует эту мысль доктор физико-математических наук Н. Я. Виленкин в своей брошюре "Рассказы о множествах". - Как узнать, поровну ли здесь юношей и девушек? Конечно, можно попросить юношей отойти в одну сторону, а девушек в другую и заняться подсчетом как тех, так и других. Но нас не интересует, сколько здесь юношей и девушек, а интересует лишь, поровну ли их. Попросим оркестр сыграть какой-нибудь танец. Тогда юноши пригласят девушек, и наша задача будет решена. Ведь если вся молодежь разбилась на танцующие пары, то ясно, что на площадке ровно столько же юношей, сколько и девушек".
Кантор решил таким же способом сравнить и бесконечные множества. Для этого вовсе не обязательно пересчитывать их по элементам. Достаточно установить взаимно однозначное соответствие между элементами обеих множеств. Так вот, все бесконечные множества, элементам которых можно сопоставить числа натурального ряда, называются счетными. Например, множество всех рациональных чисел (целых и дробных). Теперь естественно ожидать, будто все без исключения бесконечные множества счетны. No! Кантор с удивлением открыл и убедительно доказал, что множество всех действительных чисел или точек (рациональных и иррациональных, вместе взятых) неисчислимо. Оно несравнение богаче элементами (обладает большей мощностью), нежели множество одних рациональных точек. Доказать, что множество счетно, значит придумать правило, по которому нумеруются его элементы. Убедиться же в несчетности того или иного множества - это значит, доказать, что такого правила нет и не может быть вообще. Кантор рассуждал так. Допустим, нам удалось найти способ, как перенумеровать все действительные числа, выписав их в виде последовательности. Если теперь найдется хотя бы одно число, не входящее в эту последовательность, значит гипотеза о возможности перенумеровать все действительные числа несостоятельна. И Кантор продемонстрировал такое число! Да не одно, а бесчисленное их множество. И какое бы правило нумерации мы ни придумали, всегда найдется незанумерованный элемент этого множества. Вот какой смысл вкладывается в слова "множество всех точек континуума неисчислимо", Вот и получается, что у геометрического целого (линии) может появиться совершенно новое качество, отсутствовавшее у его частей - непротяженных, не имеющих размеров точек, когда мощность множества переходит определенный количественный Рубикон. Вспомните линию, составленную из одних рациональных точек! Это множество всюду плотно. Если мы прибегаем к чертежу, то нам и впрямь придется рисовать сплошную линию - иначе не изобразишь множество всех рациональных точек. Но нет, эта линия разрывна. И разрывна в каждой точке! Лишь континуум обладает непрерывностью,. сплошностью. Этого, разумеется, не дано было знать Зенону, для которого все точки-нули, равно как и все бесконечности, выглядели "на одно лицо".
И все же, даже разобравшись в этих премудростях, математики XX века не смогли окончательно отделаться от кошмара зеноновских противоречий, Канторова теория множеств, которая, как считалось, обезвредила апории Зенона, сама оказалась подорванной изнутри таившимися в ней противоречиями.

The English writer Lawrence Stern has a novel "The Life and Opinions of Tristram Shandy, Gentleman." This is a very unusual novel. The narration is from the first person, and the hero needed as many as two hundred and fifty pages to describe his appearance in the world. Only in the third book, Shandy's mother is allowed from the burden of Tristram, a gentleman, and in the sixth, a small gentleman is first honored to be clothed in pants.
A strange literary character is remembered by none other than Bertrand Russell. Suppose, says an English scholar, some newly-discovered Tristram Shandy will spend a year describing each day of his life. Will he be able to fill the memoirs? He can not, it's clear: a man of death. And if Tristram Shandy suddenly became immortal? What then? Then every day will be reflected in his unusual chronicle. It's another matter - a strange life story will never end. But to each day there will be a corresponding year, and the number of days and the number of years in their endless turn are equal, or rather, equal in power. It is the infinity of one class. In the same way, the sequence of all even numbers is equal to a natural number including even and odd numbers: 1, 2, 3, 4, 5, 6, and so on. A natural series is equipollent to the set of all rational numbers. Apparently, the rule "the whole is not equal to its part" loses its force in the strange world of the infinite. And here is another conclusion, even more scornfully mocking the infirmity of human intuition. We have already found out that the continuum (the set of all points without an exception) has a much higher power than the labels of the natural series that are rarely on the number axis or even the set of all rational points, dense everywhere. Nevertheless, it is quite unexpected and truly stunning that such a Kantorov is: one whether an angstrom, one light year contain the same "number" (we are talking about an infinite set) of points. The mind is incomprehensible, but the infinite straight contains no more points than the end piece! And one more surprise: a three-dimensional figure (say, a cube) is not richer in points than a two-dimensional (square), and a two-dimensional surface is just a line. For three years (from 1871 to 1874), Cantor tried to prove that a one-to-one correspondence between the points of a segment and the points of a square is impossible. The painful search for a long time remained unsuccessful. And suddenly, quite unexpectedly for himself, the scientist came to the completely opposite result! He did the very construction that he considered unworkable. Shocked by his discovery, he wrote to mathematician Dedekind: "I see it, but I do not believe it." And soon I was convinced that not only the square, but also the cube is equiped with lines ...
Zeno did not know this. Newton, too. But this was proved with all incontestable by Georg Kantor - a man who for the first time ventured to embrace the vast, count innumerable, measure immeasurable. He penetrated with the number and measure in a mysterious and strange world, above the entrance to which flaunts a cabalistic symbol of infinity. And the old mystery of human mystic horror infinity - the horror of the infinite. Unprecedented arithmetic lawlessness shocked mathematicians. But this was only the beginning. The theory of Cantor sets turned out to be fraught with far more serious paradoxes.
At the turn of the nineteenth and twentieth centuries it became clear that the logical reasoning that Cantor operated on led to insoluble contradictions. The first knockout of the Cantor constructions was received from the Italian scholar Burali-Forti, who formulated the paradox of the largest ordinal number. However, the real sensation was Russell's famous antinomy, published in 1903 and widely known as the "paradox of barber".
The soldier was ordered to become a regimental barber. The order strictly enjoined shaving those and only those who did not shave himself. For non-execution - the death penalty. The soldier regularly carried a simple hairdresser's service exactly one day. The next morning, running his hand over his chin, he took hold of the blade and brush to give his cheeks a gloss, but ... caught himself in time. Begin to scrape his own stubble, to be among those who shave himself. And then, in accordance with the terrible order of his superiors, he should not shave himself. If he refuses to shave, he will become one of those who do not shave and who just onto and have to shave! How to act poor fellow barber?
Of course, we have a playful parable of the paradox. In fact, his wording is more strict. There are sets that can contain themselves as an element. We call them extraordinary. Read, for example, in this definition: "The set A includes all the sets that can be defined by a sentence containing less than twenty words." The phrase just quoted contains only 15 words. Hence, the set A itself is also an element of the set A! Of course, we have a curious exception. Most of the collections are ordinary - do not contain themselves as an element. Let us, for the time being, restrict ourselves to only such pay-sets, which do not seem to promise any dirty trick. And we consider the set of all ordinary sets. We designate it with the letter M. It is suggested to answer: is M itself ordinary or unusual? Undoubtedly, it must be either one or the other - the third is not given. Assume that M is an ordinary set. Then it must contain itself as an element: after all, M, by definition, the set of all ordinary ordinary sets) But if it includes itself, then we have an extraordinary set! Well, let it be so. Stop ... What happened: an extraordinary M enters into the set of all ordinary sets? But after all, we agreed not to deal with unusual sets at all! M, by definition, has no right to enter into the set of all and only ordinary sets! And if it has got there, let it become ordinary. There is only one thing left: to declare a set of M ordinary and ... start again "a fairy tale about a white bull". Apparently, unlike his Seville colleague from the immortal "Beaumarchais" trilogy of Figaro, Lord Russell engaged in intrigues at a higher level - in the field of logic and mathematics. The paradoxes of set theory compelled the mathematician to revise his logical foundations.
As is known, the Achilles heel of Cantor set theory was its non-constructive character. Cantor was reproached that he resorted to proof by contradiction. He justified the truth of the fundamental conclusions of his theory not directly, but indirectly - demonstrating the absurdity of the opposite assertion. For the time being it seemed convincing. In fact, if one of the two mutually exclusive sentences is false, then the other must necessarily be true. At least that was the law of the excluded third. Adduction reductno hell absurdum (reduction to absurdity) has been widely practiced in mathematics since the time of Euclid. But after all, in Russell's paradox with a barber, the same logical procedure, proven for thousands of years, misfired! So why, she wondered, could she have failed Cantor too? Really, indeed ... "There is no movement"? In any case, in the logic of the deniers of Zeno, who appealed to the constructions of Cantor ...
But, perhaps, the contradictions were engendered by an excessively free interpretation of the concept of "set"? And if we more strictly formulate the requirements for the meaning of each term, to each logical procedure? And even try, if it succeeds, to construct a "constructive" logic, where there will be no law of the excluded middle and proofs from the opposite?
It was precisely this task that the mathematicians of the twentieth century set themselves. And the Austrian mathematician Kurt Gödel intended to construct an exhaustive and consistent theory of numbers (it also relates to Zeno's paradoxes: any number can be represented by a point on a segment and vice versa - any number can be associated with any number). Do you think he did it? No matter how it is! On the contrary, in 1931 he proved the theorem: in any sufficiently complete logical system, one can formulate a sentence that can neither be proved nor disproved by the logical means of this system! And the consistency of any system can not be proved by the means of this system ...
Gödel's theorem formed the basis for a whole trend in mathematics and logic. The very mathematical theory, the consistency of which is trying to substantiate, has become the subject of study of a special "supramathematical" science, called metamathematics, or the theory of evidence. What is the nature of truth? On what premises is the foundation of mathematics itself based? What is the meaning of mathematical propositions: axioms, lemmas, theorems? What logical structure should the evidence have? So attempts to resolve paradoxes faced a broader problem of substantiating mathematics and logic.
Look in the book of S. K. Kleene "Introduction to metamathematics." At first, she will surely scare you with an amazing abracadabra of symbols, and then ... Then, you see, she will attract - most likely with amazing conciseness, elegant strictness, and if you understand, then the simplicity of the peculiar language of signs. Language, which describes the most convoluted inferences. Including comical logic nonsense like the one that arose in the episode with the "lord governor" Sancho Panza. A strange, paradoxical combination, is not it? The full-blooded prose of Cervantes and the anemic hieroglyphs of mathematical "stenography" - after all, this is at first glance two things as incompatible as genius and villainy! Well, how to squeeze a living human speech, and not just speech, but reasoning, in the Procrustean bed of mathematical formulas? "
"When I, being a boy, got acquainted with the suggestions of ordinary logic and I was still unfamiliar with the mathematician, I had an idea, I do not know, on what inspiration, that it is possible to invent such an analysis of concepts by means of which truths can be combined and calculated As numbers. " So at the decline of life, a brilliant diplomat and brilliant mathematician Gottfried Wilhelm Leibniz shared his unfulfilled dreams. He, like no other, acutely felt the flaws of classical logic. Reduced into the system by Aristotle, it has remained unchanged for twenty centuries. But did it mean that it can not be improved?
The great German reformer believed that our knowledge can be decomposed into simple elements. Designated by special symbols, they will constitute the alphabet of human thoughts. The question is, why? "Disputes will not come to an end unless we give up verbal arguments in favor of a simple calculus," Leibniz explained, "unless we replace the words of an obscure and indefinite meaning with single-valued symbols." After the introduction of these two philosophers, there will be controversy between them, it is no longer necessary to try Shouting at each other, the wranglers will not need anything other than to pick up their feathers, sit down like accountants for their offices and say: let's calculate! " Only a hundred and fifty years later, the implementation of the ideas of Leibniz began. In 1847, the Irish scholar George Buhl published the "Mathematical Analysis of Logic", where he first presented the calculus of propositions - the so-called algebra of logic. "The one who is familiar with modern algebra," the author observes, "knows that the correctness of the analytical procedure does not depend on the interpretation of the symbols." Therefore, the same technique can give a solution to the problem of number theory in one interpretation, while solving the problem of geometry, At the third - the solution of the problem of dynamics or optics and so on. " In Boolean algebra letters denote statements, and the most cumbersome and intricate logical constructions are reduced to simple arithmetic operations.
The invasion of formulas and equations was as decisive for logic as the appearance of letters for mathematics. Archimedes, Euclid, Diophantus, and other titans of ancient mathematics did not use the language of formulas. No, not because they did not. They did not know him. And they expounded their thoughts in words and drawings. The geometric figure in front of the geometry was a square with a wand on the sand. Then I crossed two lines inside it, cut off from the square by an equal elongated edge on the right and bottom. Crossed, the lines formed a small square in the lower right corner. And anyone who looked at the drawing - Greek, Roman or Arabic, - without even knowing the language, understood without words: the square of the sum of two quantities is equal to the sum of the squares of these quantities, combined with a doubled product of the first quantity by the second. It was more difficult to explain what the cube of the sum is equal to. We had to draw a cube, subtract a smaller cube from it and then add up the volume lobes. But the fourth degree of the amount could not be clearly explained, let alone the fifth, sixth and so on. Geometry passed. Meanwhile, using the letter designation by the Newton binomial formula, it is easy to calculate the sum of two terms raised to any power:
(A + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2;
(A + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3 * a ^ 2 * b + 3a * b ^ 2 + b ^ 3;
(A + b) 4 = a ^ 4 + 4 * a ^ 3 * b + b * a ^ 2 + 4a * b ^ 3 + b ^ 4
And so on. Comments are superfluous: the advantages speak for themselves. And now we will read into the unusual gravestone inscription: Traveler! Here the ashes are buried by Diophantus. And the numbers can tell, about a miracle, how long was the age of his life. The sixth part of it was a beautiful childhood, the Twentieth part flowed still lives - then his chin covered in fluff. The seventh in a childless marriage was held by Diophantus. The fifth anniversary passed; He was blessed with the birth of the beautiful firstborn son, To whom the rock half the life of the beautiful and light was given on earth compared to the father. And in the sorrow of the deep, the elder of the earthly lot, the end was perceived, having survived four years since he lost his son. Tell me, how many years of life did you reach, did Diophantus die?
Well, solve the problem in your mind, reasoning - and only, without resorting to the services of pen and paper. Is it difficult? Okay, let's put the singing hexameter into a strict metric of formulas.
X / 6 + x / 12 + x / 7 + 5 + x / 2 + 4 = x
This equation with one unknown is solved in two counts. Answer: The "beautiful childhood" of the future great mathematician ended at fourteen. At twenty-one, Diophantus had a wedding, at thirty-eight he had a son who had died forty-two years when Diophantus himself was eighty. Finally, in the eighty-fourth year, the great Greek passed away. He was no more (although this does not follow from our equation) in the III century of a new era. Euclid and Aristotle lived and worked in the III century BC. And despite the fact that the biography of great thinkers shares more than half a millennium, Diophantus did not yet have an algebra - the one that allows us to deal so dashingly with difficult arithmetical problems.
How speeded up progress, how much richer the possibilities of mathematics became when the algebra, which immediately gained the rights of citizenship, got to its feet and finally became established! And it happened in the Renaissance - thousands of years after the appearance of geometry and arithmetic.
As for the logic, also a very respectable old woman (Aristotle's Organon was created at about the same time as Euclid's Elements), then algebra was not immediately recognized. Symbols and operations of mathematical logic fell either to taste, or not to the teeth of the logic of the middle of the XIX century. And who mastered Boolean algebra, for decades it was considered an entertaining, but worthless invention of the idle mind. The situation changed only towards the end of the nineteenth century, when a serious task arose before science, to substantiate the most cardinal ideas and concepts of mathematics. Aristotelian logic, with all its perfection, had to lay down its arms before irresistible difficulties. It was then that I had to bow to the symbolic logic. And it is understandable why.
At one time, analyzing a bunch of responses to the article "Following the Traces of Logical Catastrophes", published in the journal Technique-Youth, the author discovered a mass of refutations of all the famous paradoxes. Including the paradox of Cervantes. Sincerely sympathizing with the poor Sancho, trying with all his might to help him, the readers embarked on all kinds of casuistic tricks. Some of them searched for meaningful loopholes in the formulation of the law. Others - in the statement of the eccentric alien. Still others - in the execution of the sentence. Well, some people managed it. It was possible to do so, since the article featured a popular version of the paradox with all the attributes of a real world situation. But formulated in terms of mathematical logic with their unambiguous interpretation, which does not allow any ambiguity, Contradiction would appear to us in all its fatal, implacable, inevitable, indestructible essence. "Of course, the sympathy of scientists attracted and attracted not only this rigor and uniqueness of definitions, hiding behind the symbols of mathematical logic. Having reduced the construction of syllogisms to literal transformations, the Boolean algebra freed man from the need to keep the contents of premises and intermediate conclusions in his head. All care has been reduced to observing the correctness of algebraic calculations, reminiscent of the solution of a system of equations, And even the schoolboy is able to comprehend such wisdom.
Да, далеко шагнули вперед математика и логика со времен Зенона и Аристотеля. Появилась и успешно развивается теория доказательств - метаматематика. И тем не менее, несмотря ни на что, парадоксы с невозмутимостью Сфинкса, сквозь загадочно-насмешливую маску каменного колосса продолжают взирать на все ухищрения логистов, как они тысячелетия назад смотрели на наивные потуги опровергателей. Есть ли выход из тупика? Если да, то где он? Неужели есть вещи, недоступные человеческому разуму?
Бессильная в своем могуществе, математическая логика в недоумении разводит руками. "Ну и что? - пожмет плечами читатель. - Разве из-за этих сугубо теоретических, лучше даже сказать, надматематических изъянов хуже действуют столь мощные практические инструменты, как, например, дифференциальное и интегральное исчисление? Или вы забыли, какие чудеса творит кибернетика? То ли будет впереди! А вы все толкуете о каких-то там парадоксах..." Спору нет, успехи современной математики грандиозны. Кибернетики - тоже. Электронные машины вторглись в заповедные области человеческого интеллекта. Нынче они навострились не только доказывать известные теоремы, но даже... формулировать новые!
Работая по программе, составленной американским ученым Ваном Хао, универсальная цифровая машина ИБМ-704 за восемь минут тридцать секунд доказала все триста пятьдесят теорем, что составляют целых девять глав в монографии Рассела и Уайтхеда "Основания математики"! Этим дело не ограничилось. Ван Хао так запрограммировал машину, чтобы она не просто доказывала или опровергала математические предложения, заданные человеком, а сама занялась научным творчеством. И машина охотно принялась печатать одну за другой новые теоремы... Так, может, эра машинного мышления знаменует собой начало полного раскрепощения математики от логических несуразностей? Послушаем специалистов. "Имеется ряд результатов математической логики, - говорит А. Тьюринг, автор книги "Может ли машина мыслить?", - которые можно использовать для того, чтобы показать наличие определенных ограничений возможностей машин... Наиболее известный из этих результатов - теорема Гёделя... Существуют определенные вещи, которые эта машина не может выполнить. Если она устроена так, чтобы давать ответы на вопросы, то будут вопросы, на которые она или даст неверный ответ, или не сможет дать ответа вообще, сколько бы ни было ей предоставлено для этого времени".
А вот какого мнения придерживается "отец кибернетики" Норберт Винер: "Всякая логика ограничена вследствие ограничений человеческого разума, которые обнаруживаются при том виде его деятельности, который мы называем логическим мышлением. Например, в математике мы посвящаем много времени рассуждениям, включающим понятие бесконечности, но эти рассуждения и сопровождающие их доказательства в действительности не бесконечны. Всякое допустимое доказательство содержит лишь конечное число шагов... Доказательство есть логический процесс, который должен привести к определенному заключению через конечное число шагов. Напротив, логическая машина, действующая по определенным правилам, не обязательно должна прийти когда-либо к заключению. Она может продолжать проходить через различные шаги, никогда не останавливаясь; при этом она будет либо совершать последовательность действий все увеличивающейся сложности, либо повторять один и тот же процесс, подобно вечному шаху в шахматной партии. Это действительно имеет место в случае некоторых парадоксов Кантора и Рассела". Значит, и машины пасуют перед логическими парадоксами? Если бы только перед парадоксами...
Недавно вышла в свет прелюбопытнейшая книжица М. Таубе "Вычислительные машины и здравый смысл. Миф о думающих машинах". Там сказано: " В свете теоремы Гёделя о неполноте элементарной теории чисел существует бесконечное множество задач, которые принципиально неразрешимы этими машинами, как бы сложна ни была их конструкция и как бы быстро они ни работали. Очень может быть, что человеческий мозг - это тоже "машина" с присущими ей ограничениями и с неразрешимыми для нее математическими проблемами. Даже если это так, то человеческий мозг воплощает в себе систему операционных правил, значительно более могущественную, чем у мыслимых в настоящее время машин. Так что в ближайшем будущем не видно перспектив замены человеческого разума роботами". Неужели и тут "движенья нет"? Прежде чем окончательно уяснить неутешительный вывод Таубе, давайте разберемся, о какой ограниченности машины по сравнению с человеком твердят кибернетики. Если верить историческому анекдоту, Архимед открыл свой знаменитый закон гидростатики нежданно-негаданно - лежа в ванне. Взволнованный внезапно осенившей его идеей, ученый, забыв одеться, побежал по улицам Сиракуз с криком: "Эврика!"
Отголосок этого восклицания великого эллина через двадцать с лишним веков зазвучал в слове "эвристика". Таким термином современные ученые пользуются, когда говорят о характерных особенностях человеческого мышления. Инженер денно и нощно бьется над какой-нибудь технической головоломкой. Он уже изрисовал чертежами ворох бумаги, он перечитал груду книг, он прибегал и к моделям и к расчетам. Увы, нужная конструкция "не вытанцовывается". Проходят часы, дни, недели... Мысль зашла в тупик. И отвязаться-то от идеи не отвяжешься: она неотступно стоит перед внутренним оком изобретателя. Вдруг... "Эврика!" И на бумагу ложится выстраданная бессонными ночами долгожданная находка. "Внезапное озарение", - говорит инженер. "Эвристическая деятельность", - говорят ученые. Технология этого мучительного и радостного творческого процесса - величайшая загадка природы. К пионерам науки об эвристике относят Декарта и Лейбница, великих математиков и философов своего времени. В их сочинениях эвристика зачастую отождествляется с интуицией. В книге "Правила для руководства ума" Рене Декарт четко отграничивает интуитивную форму познания от цепи последовательных логических умозаключений. Он рекомендует в ряде случаев "отбросить все узы силлогизмов, вполне довериться интуиции как единственно остающемуся у нас пути". О неосознаваемых сторонах мыслительного процесса, наряду с его логической структурой, говорили Бенедикт Спиноза, и Анри Пуанкаре, Альберт Эйнштейн и А. Колмогоров. Ситуации, когда нет готового алгоритма, готового набора правил для решения задачи, возникают на каждом шагу - в работе шахматиста и писателя, следователя и режиссера, врача и экономиста, А порой и вовсе не известно, разрешима ли задача вообще. Какими же путями бредет ищущая человеческая мысль?
Систематический перебор вариантов - вот что считалось одно время основой творческого процесса. На эту идею опиралось и конструирование кибернетических соперников человека, например электронных шахматистов. Но странное дело: машина проигрывала даже не ой каким сильным партнерам! А странное ли? Количество всевозможных позиций в шахматных партиях выражается невообразимо - чудовищно - огромным числом - единицей со ста двадцатью нулями! Надо сказать, что атомов во вселенной в миллиарды миллиардов раз меньше. Если бы вы в поисках наилучшего ответа на ход противника механически перебирали в уме все возможные ходы и их последствия, вы бы попали в такой цейтнот, что поседели бы за шахматной партией, так и не добравшись до эндшпиля. Между тем турнирный регламент отпускает, как известно, всего два с половиной часа на сорок ходов. И игроки укладываются в сроки. Значит, человек умеет какими-то неисповедимыми путями отсеивать никчемные варианты. И даже далеко вперед рассчитывать последствия необычных жертв. Вспомните изящные комбинации Морфи или Алехина! Машина же, при всем ее быстродействии, чаще всего занимается формальной комбинаторикой, далекой от подлинно творческой работы мысли. Правда, многое зависит от программы. Но вернемся к рассуждениям Таубе о возможном, вернее, о невозможном для умных машин.
"Гигантский искусственный мозг, машины-переводчики, обучающиеся машины, играющие в шахматы, понимающие машины и т. п., заполнившие нашу литературу, обязаны своим "существованием" людям, пренебрегающим сослагательным наклонением. В эту игру играют так. Сначала заявляют, что, если не учитывать незначительные детали инженерного характера, машинную программу можно приравнять самой машине.. Затем блок-схему программы приравнивают самой программе. И наконец, заявление, что можно составить блок-схему несуществующей программы для несуществующей машины, означает уже существование самой машины". Автор, правда, поясняет свою мысль на примере электронных переводчиков, а не шахматистов, но сути дела это не меняет. Итак, машине чужда интуиция. И если машине суждено переводить, то лишь формально. Между тем язык невозможно формализовать целиком и полностью. Хотя бы потому, что он включает в себя всю математику, а математика не сводится к формальной системе, это доказано. "Математика содержит в себе черты волевой деятельности, умозрительного рассуждения и стремления к эстетическому совершенству, - говорит американский ученый Рихард. Курант. - Ее основные и взаимно противоположные элементы - логика и интуиция, анализ и конструкция, общность и конкретность. Как бы ни были различны точки зрения, питаемые теми или иными традициями, только совместное действие этих полярных начал и борьба за их синтез обеспечивают жизненность, полезность и высокую ценность математической науки". Самые строгие формалисты никогда всерьез не отрицали участия человеческой интуиции даже в тех математических выкладках и умозаключениях, когда ее вроде бы и не требовалось! (Слово "интуиция", замечает Таубе, употребляется здесь в смысле ничуть не более таинственном, чем обычные слова: "опыт", "ощущения".) Сказать "человек переводит неформально" - значит подчеркнуть, что в каждом акте перевода он пользуется своим арсеналом опыта и чувств. Кое-кто мог бы возразить: дескать, словесное выражение опыта и чувств - это уже не что иное, как их формализация! Отвечая на такой выпад своему предполагаемому оппоненту, Таубе приводит контраргумент: нет ни малейшего намека на то, что опыт и чувства можно исчерпывающе полно и абсолютно точно выразить словами. На эквивалентности всего словесно выразимого нашему опыту и чувствам способен настаивать только тот, кто отрицает свою принадлежность к человеческому роду, кто никогда не слушал музыку, не имеет представления о живописи, никогда не влюблялся и не был ничем глубоко захвачен. Вывод: переводить формально с одного человеческого языка на другой невозможно. А машина способна переводить только так, ведь ей чужда интуиция! Значит, "в свете известной неформальности языка и смысла, изыскания в области машинного перевода носят характер не истинно научных исследований, а романтического поиска... Нашим инженерам-электрикам и энтузиастам вычислительных машин следует либо прекратить болтовню об этом, либо принять на себя серьезное обвинение в том, что они сочиняют научную фантастику с целью пощекотать читателям нервы в погоне за легкими деньгами и дешевой популярностью".
Так считает Мортимер Таубе, профессор Колумбийского университета, специалист по программированию и применению электронных машин в области научной информации. Здесь было бы неуместно ввязываться в спор с профессором Таубе, это не входит в цели нашего разговора о логических несуразицах. Профессор, по-видимому, чуточку переборщил в своих пессимистических прогнозах, хотя в чем-то он, безусловно, глубоко прав. Нам гораздо важнее усвоить, что парадоксы отнюдь не забавные словесные выкрутасы, а самый настоящий пробный камень совершенства нашей мыслительной схемы.
Да, трудности, связанные с пониманием непрерывности, бесконечности, движения, еще в древние времена служили предметом жарких философских дискуссий. И это не прошло бесследно для научного прогресса. Апории Зенона, открытие иррациональных точек смутили античных геометров, помешали им развить искусство численных операций, заставили их искать выход из тупика в дебрях чистой геометрической аксиоматики. Стремление дать строгое непротиворечивое обоснование всем логическим и геометрическим построениям поглотило силы лучших умов древней Греции. Так, по словам Куранта, началось одно из самых странных и долгих блужданий в истории математики. При этом, по-видимому, были упущены богатые возможности. Груз древнегреческих геометрических традиций подавлял идею числа, он затормозил эволюцию арифметики и алгебры, цифрового и буквенного исчисления, ставшего позднее фундаментом точных наук. Лишь в XVII столетии греческий идеал кристально чистой аксиоматики и дедукции, строгой в своей систематичности, потускнел в глазах ученых. Логически безупречное мышление, отправляющееся от отчетливых определений и "очевидных", взаимно не противоречащих постулатов, уже не импонировало революционному духу новой математики. Предавшись оргии интуитивных догадок, слепо вверяясь сверхчеловеческой силе формальных процедур, пионеры дифференциального и интегрального исчисления открыли новый математический мир, полный несметных богатств. Однако мало-помалу экстатическое состояние ума, упоенного головокружительными успехами, стало уступать место трезвости, сдержанности, критицизму. В XIX веке устои новой математики подверглись ревизии. Были предприняты энергичные попытки уяснить понятие предела, подразумеваемое математическим анализом. Классический идеал доказательной строгости, логической безупречности, отвлеченной общности торжествовал снова. Но тут, как и во времена Зенона, на арену теоретических исканий вдруг высыпала анархическая гвардия парадоксов. Ученые снова заметались в тревоге, спасая пошатнувшееся здание математики. Кризис продолжается и по сей день. Обратите внимание, насколько парадоксальна сама история парадоксов. Атомистическая математика, игнорировавшая парадоксы и приводившая к ошибкам, оказывается более плодотворной, нежели математика, построенная на принципе непрерывности, тяготеющая к строгим обоснованиям и устраняющая ошибки атомистов! Так обстояло дело не только в глубокой древности. "С конца XVI века учение о непрерывности являлось характерной чертой схоластического застоя, - отмечает уже цитированный в этой главе профессор С. Я. Лурье, - борцы за возрождающуюся науку, став на точку зрения математического атомизма, привели математику к небывалому расцвету, создав заново ряд дисциплин. Однако и эти ученые сделали ряд ошибок и произвольных допущений: математики XIX века, став последовательно на точку зрения непрерывности пространства, исправили эти ошибки дав методологию предельной процедуры." И профессор Лурье, исходя из диалектичности научного прогресса, предсказывает "возможность нового расцвета математики на почве возрождения нового математического атомизма - несравненно более совершенного, чем учения не только Демокрита, но также Кепплера, Кавальери, Ньютона и Лейбница".
Эти слова произнесены в тридцатые годы. И содержащаяся в них идея кое-кому может показаться архаичной, отвергнутой всем ходом развития современных наук. Нет, тысячу раз нет!
Откроем монографию А. Н. Вяльцева "Дискретное пространство-время", изданную в 1965 году. Эта книга являет собой редкостное сочетание научной глубины и популяризаторского блеска в изложении темы, которую никак не назовешь тривиальной, ибо она вот уже не первый десяток лет лежит в стороне от обычных исследовательских и тем паче журналистских троп. Почитайте ее и поразмыслите над такими словами ее автора: "Современный математический анализ по праву можно назвать теорией непрерывных процессов. Возможность непрерывного движения принимается при этом как нечто данное свыше. По существу жа во всех относящихся к делу случаях речь идет о способности движущихся тел достигать разумной цели. Достаточно напомнить в этой связи о Диогене, который в ответ на заявление Зенона о том, что непрерывное движение невозможно, начал ходить взад и вперед перед своей бочкой, демонстрируя одновременно и чувственную реальность движения и убожество своего мышления. В математическом анализе факт достижения разумных целей воплощен в понятии предельного перехода. Именно эту черту математического анализа следует считать главной причиной успешного применения его в области физики, и значит, надо признать, что непрерывный анализ решает проблемы физики чисто по-диогеновски.
Применение дифференциального исчисления к подсчету электрического заряда тел, периода радиоактивного распада ядер и некоторых других прерывных эффектов дает хорошие результаты, хотя ни в атомистической природе электричества, ни в дискретном характере радиоактивного излучения никто из нас никогда не сомневался. Дееспособность непрерывного математического анализа должна, как можно думать, потерпеть крах на той стадии познания природы, когда дискретность мира станет существенной чертой его математической картины. По всей видимости, современная физика уже стоит на пороге этой стадии... Тогда придется оторваться от классической почвы, отказаться от помощи классических "лесов" и вступить в область оригинального математического творчества - в собственную область математики дискретного мира. Эта новая математика, надо думать, будет находиться по отношению к классической примерно в том же положении, в каком квантовая физика находится к классической физике, то есть будет сводиться к ней, но не выводиться из нее. Для продвижения вперед потребуется поэтому деятельность умов гениальных. Поприще для них, возможно, окажется не менее широким, чем в случае классической математики, то есть работы хватит на несколько поколений. В практической возможности новой математики сомневаться не приходится: ведь это будет математика реального, живого, окружающего нас и составляющего нас мира. Что касается внутренней привлекательности новой математики, то и в этом отношении дискретная математика нисколько не уступает непрерывной. Истины дискретной математики привлекают к себе своей таинственностью и поразительной красотою.
Какая это заманчивая задача - создать новую математику, опираясь на великий свод математики классической! Как важно для математиков, особенно молодых, понимать, где лежат еще не разработанные карьеры их науки; как важно для них знать, что математический аппарат еще ждет своих Лагранжей и Гамильтонов!"
Здесь опять-таки для нас интересны не столько пути, которыми пойдет математика будущего, сколько сам факт: математика, как и логика, никогда не была чем-то законченным, завершенным, застывшим в своем развитии. И сегодня она не представляет собой каталог готовых истин. Напротив, ее ждут новые откровения и разочарования, новые революции и спады, новые драматические столкновения идей, в которых, словно в горниле, будут выкристаллизовываться новые истины. Мы стоим в преддверии века автоматики. Человек твердо намерен построить машину, способную мыслить и творить, невзирая ни на какие теперешние логические ограничения. Но для этого мало овладеть в совершенстве уже имеющимся логическим аппаратом. Требуются широкие исследования путей и способов, какими идет человеческий мозг в своем стремлении достигнуть истинного знания. Как далек век Ньютона от века Зенона! Но еще дальше ушли мы от века Ньютона. По объему накопленных знаний. Между тем о технологии своего мышления Бертран Рассел и Курт Гёдель смогли бы рассказать едва ли больше, чем Зенон и Аристотель. Иными словами, нам известно все, что следует за восклицанием: "Эврика!" Но нам еще предстоит узнать то, что ему предшествует - в недрах человеческого мозга. Мы знаем законы политической экономии, открытые Марксом, но пока мы не знаем законов эвристической деятельности, приемов 5 и способов мышления, которые привели Маркса к его гениальным открытиям. Ведь каждое выдающееся открытие является вместе с тем и шагом вперед в развитии техники мышления. Ленин писал, что если Маркс не оставил "Логики" (с большой буквы), то он оставил логику "Капитала". Если бы удалось овладеть приемами и способами мышления Маркса, насколько ускорился бы прогресс в самых разных областях науки - в биологии, геологии, языкознании, многих иных! В том числе и в самой логике. Думается, приведенных примеров достаточно, чтобы составить впечатление об огромной и практической пользе логики. Недаром Джордж Томсон, английский ученый, автор нашумевшей книги: "Предвидимое будущее", заявил: "...наш век знаменует собой начало науки о мышлении". И эта наука не стоит на месте.

But what about paradoxes? Is the limitation of mathematics and cybernetics irresistible? Instead of answering, let me retell the instructive parable-paradox that appeared in the early forties and has since been debated at least ten times in the serious philosophical journal Mind, published in the UK. Once upon a time there was a pirate named Blackbeard. For a long time he was in awe of merchant ships. One day a terrible sea poacher was behind bars. He was sentenced to hanging. "The execution will take place at noon, one of the seven days of next week," said the judge to the perpetrator, "and we prepared a little surprise for you: you will not know in advance which day you will be hanged on the gallows. The fateful day, when the gates of hell open before you, so that you will suffer unexpected retribution. " The judge was a man of the word. And Blackbeard darkened, perfectly aware of what a painful suspense of expecting sudden death. Now he could not sleep peacefully in any of the nights. Oh, and he was a cruel man, this judge! However, the pirate's lawyer only chuckled. "Do not hang your nose!" He clapped on the shoulder of his client, when they were left alone. "A sentence can not be carried out." The black beard stared. "Yes, it's impossible," continued the lawyer, "it's quite obvious that they will not be able to hang you next Saturday, for Saturday is the last day of the week and if you were to remain unharmed on Friday afternoon, then you would have seen with With complete certainty when exactly the sentence will be carried out - the next day, on Saturday.Thus, you would have known about the time of the execution on the eve, that is before you would have been informed about it on Saturday morning.Friday remains. -because Friday is the last day before Saturday, you will not be hanged on Saturday, it turns out that the penalty should be set at the latest on Friday, but they do not have the right to do so, for you would have known about it already on Thursday after noon! It is clear, That on Friday you will not be in trouble either. "It seems like Thursday did not happen at all! You would have known about the execution on Thursday the day before - on Wednesday, then, perhaps, Wednesday? Also not: about your death that day You would know on Tuesday, and so on - until tomorrow. But tomorrow they will not hang you, for you already know today that tomorrow is the last day when justice has to be accomplished. Therefore, go to bed and be calm: the sentence is not possible. "" A thousand devils! Rejoiced the pirate, shocked by the iron logic of the lawyer. "If I were not a Black Beard, if you're wrong, sir!" The old robber suddenly escaped from under the sword, carried by the persecuting hand of Themis, or at least many scientists believed until 1951, when ... In July of the same year Year in the same magazine "Mind" appeared an article of Professor of logic Michael Scriven.Here is its essence, transmitted in the same images.One of the days next week, it seems, on "Black Friday", serenely sleeping pirate awakened the sound of the keys. "You came to release me?" - the pirate grinned and ... was stunned: with the jailer the executioner fell in. "We came to tell you that the execution is scheduled for today," the guests replied with gloomy equanimity. But on what basis ?! "- Blackbeard was indignant, indeed, on what grounds? Did the lawyer, this dock for casuistic quirks, make a mistake? No, he was not mistaken. His conclusions were irreproachably correct, and from them a consequence inevitably ensued, called a logical The contradiction is a paradox. But ... Oh, that's the ubiquitous "but"! Without it, there was not even here, where everything seems to be with such clarity, with such logical transparency, testified to the powerlessness of laws against the anarchy of the paradox. And yet human reality was stronger than the logical paradox. When the lawyer convinced the pirate of impunity, Blackbeard, confident in the logical error of the judge, stopped waiting for the payment he was prepared. Therefore, the executioner's visit and the warning of the term of execution did indeed come as a surprise to the criminal! Re-read the sentence again, and you will be convinced that it is carried out in full compliance with the law, and not only legal, but also logical. Does not the same inglorious demise and the present logical paradoxes await? Will not they sign the death sentence the science of tomorrow? "No!" - broadcasts a cold intellect blindly obeying the code of the current logic and unconditionally capitulating to paradoxes. Thus reasoned Zenon of Eleus. So Kurt Goedel reasoned. So argues and Mortimer Taube, whose arguments "Knowledge is power" dubbed "the objections of the devil's lawyer." But surely the self-assured lawyer from the story about the Blackbeard was just as sure! And embarrassed, disproved by living reality. By the way, about the "devil's lawyer." In accordance with the requirements of the Catholic religion, only those who before the "speed", before their death, could be counted among the saints, at least two miracles were accomplished. And now the Reverend Fathers proceeded to the ceremony of canonization, arranging a staged trial, where the "devil's advocate" figured. He questioned miracles, demanded evidence of their accomplishment. This is how the skeptic Taube, appealing to the devilish legacy of paradoxes, doubts the sensational successes of cybernetics and no less in the promises of her enthusiasts, demands to prove the reality of cybernetic miracles painted in numerous articles and books. Enthusiasts, of course, dislike skeptics. But the criticism that came from the skeptics, more than once helped enthusiasts become more precise, more specific, more rigorous in their conclusions, which ultimately benefited science. And the problem, stalled, sooner or later turned out to be deadlocked.
In 1900 an international mathematical congress was held in Paris. On it the famous scientist David Gilbert presented thirty mathematical problems. They were formulated extremely simply, sometimes even quite elementary and popular. However, none of them at that time was not solved. Moreover: she did not hope for a solution. Gone are decades. During this time, little by little, almost all "unsolvable" problems were solved. And in many cases, thanks to the fact that mathematicians, agitated by Hilbert's problems, enriched science with new, deeper, more sophisticated methods. What seemed hopelessly difficult in 1900, became on the shoulder of new mathematics. Is it possible that continuous progress in mathematical logic will not lead, sooner or later, to the resolution of paradoxes? Some progress has already been made in this direction. (For example, Russell's "theory of types" to some extent neutralizes the paradox of the barber.) Yes, it was the skeptics who helped the enthusiasts more than once to move science from the dead end. Paradoxically, but undoubtedly - to start a movement, it was required to say:
- There is no movement!