home Other disciplines Books Mathematics programmers - Nakonechny S.I.

Mathematics programmers - Nakonechny S.I.

6.4. Методи відтинання. Method Гоморі

In the basis of the method of quantitative programming, it is padded to the idea of ​​Danzig . Admittedly, it is necessary to rozv'yazuvati task liticnogo programmuvannya, vsei abo part zmіnnih maku moyut bouti tsilokshchilimi. It is possible, yakshcho rozv'yazuvati task, not vrahovoychy I shall fail to settle, Vipadkovo odrasa otrimano potrebny rozvjazok. However, such situation is small. It's important that I do not feel overwhelmed with pleasure. Todi podadatyut dodatkov obmezhennya, yak not vikonuetsya for otrimannogo to the plan of tasks, proto zadovolnyaє be-yak tsilokshchili roz'yazok. Take dodatkov obmezhenna nazivayut correct vidtinnannam . System lіnіynih obmezhen zadachi dopovnyuetsya new umovoi і dalі rozv'yazuetsya otrymana problem lіnіynogo programvannya. Yaksho її rozv'yazok znovu not zadovolnya umovit tsilochslovostі, it will be new lіnіyne обмеження, що відтинає отриманий розв'язок, не зачіпаючи цілочислових плаів. The process of adapting dodatkovyh interchange to repeat the doti, the docks will not be known to the optimal number of the optimal plan, but it is brought, but the yogo does not exist.

Geometrically introduced dodatkovogo linnijnogo obmezhennya means conducting a hyperplane (straight), sewing a view of the bagatrone (bagatokutnik) permissible rozv'yakіv tasks, that yogo part, yaka mistit points with non-numerical coordinates, one does not stick at the base of the numerical point of the given multiplicity. Otrimanii noviy bahatogrannik rozv'yakіv mistit all the points, yaki buli in pokotkovomu, i rozv'yazok, sho budey otrymano nyomu, bude tsilokshchilim (Figure 6.3).

Слід відмітити, що визначення правила для реалізації ідеї Danzіga stasovno formvannya dodatkovoy obmezhennya viyavilos doshit zaprannym zavdannyam і perishim, to whom vpalos uspezhno realizuvati tsju іdeju, buv Gomorі.

Rozglyanemo algorithm , forecasting Gomory , for rozvjazuvannya poninistyu tsilochislovoi tasks lennyi programvannya, scho ґruntuyetsya vikoristannyi simplex method and perebacha zastosuvannya dosit simple way of the motives of the correct vidtinnannya.

Nekhay maemo task tsilochislovogo programvannya:

(6.5)

For the mind:

, (6.6)

, (6.7)

- the number of numbers . (6.8)

It is permissible that the parameter - the number of numbers.

Not vrahovoyachi umovi tsilochislovosti, is known roz'jazok tasks (6.5) - (6.7) the simplex method. Нехай розв'язок існує і міститься в такій симплексній таблиці:

Table 6.1

Змінні - basic, and - вільні. Optimal plan of tasks: . Yakshto - the number of numbers, then otrimaniy rozv'yazok і tsilokshchilim optimal plan of problems (6.5) - (6.8). Іnakshe існує хоча б одне з числа, наприклад, - shot. Otzhe, neobhidno poduduvali properly obmezhennia, scho vidtinae netsilu part znachennya .

Розглянемо довільний the optimal plan Problems (6.5) - (6.7). Virazimo in the base of the plan Through вільні змінні:

. (6.9)

Virazimo koefіtsієнti at змінних даного рівняння у вигляді sumi їх цілої та дробової частин. Introducible cognition: Is the part of the number b , Is a partial fraction of the number b * 1 . Отримаємо:

* 1: {Part of the number a is called the number , I do not overload a. Partial Shot - number , Yake dorivnyuє різниці між by the very number а and yogo tsіloyu partno, tobto .

For example, for , ;

for ,

, (6.10)

Abo

. (6.11)

Otzhe, rivnyannya (6.11) vikonuetsya for be-what is allowed to the plan tasks (6.5) - (6.7). It is permissible now, І tsilokshchilim optimal plan of problems. Тоді ліва частина рівняння (6.11) it is necessary to store numbers of numbers and numbers і і зілочисловим виразом. Otzhe, the rights of the yogo part of takozh і tsіlim number і справджується рівність:

, (6.12)

De N - action number.

The value of N can not be observed. Yakshto b , Then the solution (6.12) can be reached up to the point:

.

Звідки . Tobto tse meant b, sho shot part Transplant oditnitsyu, but inconclusive. Such a course is brought, but the number N is invisible.

Якщо від лівої частини рівняння (6.12) відняти деяе невід'ємне number, then come to the nerves:

, (6.13)

Yaka vikonuetsya for admission for any number of goals and tasks (6.5) - (6.7). In such a process, it appears, but the nerves (6.13) - we shuffle the right vidtinnannam.

Otzhe, for rozvyazuvannya tsilochislichnyh problems of linear programming (6.1) - (6.4), using Gomory's method, zastosovuyut such algorithm:

1. The simplex method is to solve the problem without permitting the number of unknowns - (6.1) - (6.3).

Yakshchoe sredi Elementov in the intellectually optimal plan for a lot of shot numbers, then this plan is rozv'yakom tasks and tsilochislovogo programvannya (6.1) - (6.4).

The problem (6.1) - (6.3) is not empty (the quotient function is not intermediate, but the system is not nonsingular), then the problem (6.1) - (6.4) is also not rosy.

2. If in the intellectually optimal plan, the value of the fractional value, then vybirat'ya zmіnna, yaka maє naybіlsh the shot part. On the basis of the number of elements (elements of the series of the remaining simplex tables, in yakomu vona mistitsya) budetєdat dodatkov obmezhennia Гоморі:

.

3. Dodatkov obmezhennia pislja zvedennya yogo before the canonical viglyadu і introduced the basic element prieznutsya to ostannenie simplex table, yaka mistit moosnovo-optimalniy plan. Otrimanu rozshirenu task rozv'yazyut і pereviryayut її rozv'yazok on tsіlokislovist. Yaksho vin not tsilokshilovy, then repeat the procedure, turn to p. 2. So dityut dots, docks will not be known tsilochislovogo rozv'yaku abo brought, but the problem is not impossible permissible rozv'yakv on many numbers.

In the literature [12, 27] it is brought, but for the first minds the algorithm is Gomory, it is scintillating, or the process of isolating the tasks of the great geography by the Gomory method is overwhelmingly negative. Сlід також мати на увазі, що і кількість ітерацій суттєво залить від of the formed correct vіdtinannya. The imposed rule (6.13) does not form the correct vidtinnannya not єdine. Існують ефективніші відтинання, які використовуться у другого та third algorithm Гоморі [12, 27], one in reality is practical not just do not zmogi vidіliti з nіkrachy.

Forgive, Gomory's algorithm in the obshchevlyuvalnomu aspect is not enough for vivchenim. Якщо в лінійному програмуванні спостерігається відносно жорстка залежність між кількістю обмежень задачі та кількістю ітерацій, що необхідна для її розв'язування, then for the number of tasks, such solubility is not a problem. Кількість змінних також little vplyl'є on трудоісткість обчислень. Obviously, the process of the development of the tasks of the people is not limited to, but by the special features of the bagatogranist of permissible rozvozyov, it is itself a nabir of insignificant points.

Yak rule, rozv'yavannya tasks tsilochislovogo programvannya need a great otchagu charged. Tom under the strict program for EOM osoblivu uvalu slyod pridilyati zasolami, scho gay zmugu zmenshiti pomolki okruglennya, yakі mozhut prizvest to the point that otrimaniy tsilokchislovy plan will not be optimal.

Розглянемо Applied rozv'yazuvannya tsіlochislovoї problemyі lіnіynogo programvannya method Gomory.

Сільськогосподарське підприємство plan to meet the drying workshop on the vibrochnic surface of 190 m2, floss for the 100th yew. Uah і можливість придбати устаткування двох типів: А і В. Техніко-економічну інформацію Stasis odnitsy dermal type uterkuvannya filed in the table. 6.2:

Table 6.2

Rozvjazannya . Нехай х 1 і х 2 -кількість комплектів устаткування відповідно тип А і В.

Запошемо економіко-математичну model задачі:

,

;

;

,

I - the number of numbers.

It is rozv'yazuєmo task, nehtuyuchi I interpret the quantity. Ostanja is a simplex table with a wiggle:

Table 6.3

Znachennaya drone zmіnії є shot number, scho not zadovolnya kachatki іmo tasks. For another row of guided simplex tables, dodatkov :

.

Oskilki , , , Then dodatkov obmezhennia nabuvaє viglyadu:

.

Yvedo yogo before the canonical form is introduced to the piece zmіnnu:

.

Priadnavshi otrimane obmezhennia to simpleksnoy table (Table 6.3) with the mental-optimal plan, it is:

Table 6.4

Rozv'yazavshi impose a task, it is known tsilokshchilov optimal plan: , .