home Other disciplines Books Mathematics programmers - Nakonechny S.I.

Mathematics programmers - Nakonechny S.I.

5.2. Vlastivostі of the basic plans of transport tasks

Yakshcho vmovi transportnoi problemi і її basic plan recorded in viglyadі tabl. 5.1, then clay, in some (Non-zero value of supplies), nazivayutsya zapovneni, vsі іnshі - let. Заповнені клітини відповідають базоцним змінним і for the uninhabited plan їх кількість дорівнює m + n - 1.

Named by the cycle taku poslidovist zapovneniy klitin tablitsi 5.1, yaka zadovolnyaє umovu, scho lishe dvі susіdnі klіtini mistyasya abo in one row, in one table, prichomu persha klitina cycle є i yogo ostnnoyu klitinoju. Yakshto for pivnom set prinovneny klitin nemozhlivo pobuduvati cycle, then such postlodovist klitin і acyclical.

Lem. Кількість клітин, які ut say that be a cycle of transport tasks, the manager of a guy.

Beforehand . Yakshcho cognize kozhna klitinu cycle of a duma with indeksami , Then the pre-existing cycle, which is stored in the warehouse, can be written in one of two ways:

, (5.9)

Abo

. (5.10)

Оскільки перша та остання клітини cycle є odnієy klіtinoju, then it is out of the sight of the remaining element ( i 1, j 1) of the guidance of the last. Кількість клітин, що зашилась, парна, бо кожній клітині sight In (5.9) and (5.10), the impulse is imposed Abo . Same such clays are closed for guidance. Overdosted clay , De . Otzhe, the cycle utozvuyutsya klitinami, yakі mistyatsya in l rows of those l stovptsyah, tobto zagalna їх kіlkість n = 2 l . Lem is finished.

THEOREM 5.1. Scheob is an active plan for transport tasks, buf is supportive, neobhidno i dostatno yogo acyclicity.

Beforehand. Unpaidness . Nehai near the table 5.1 to find the basic plan of transport tasks, then no more m + n - 1 klіtin will be filled with zapnovneni. Yaksho zapovnenih klіtin menshe, niz m + n - 1, then reshata basic klitin mean srednes nezapovnenih.

To bring necessaryness to the theorems is to bring the acyclicity of the basic plan.

Vektori, scho vidpovidayut basestim clintin, tobto basic zmіnnim, є lіnіyno nezalezhnimi, i potrіbno to bring acyclicity to the set of cliches, scho відповідає be-якій системі лінійно незалежних векторів. It is permissible to be soaked. Nehai pisdistemiya z danoї sistemi basis vektorіv utvoyuet cycle, and Same:

. (5.11)

Warehouse lіnійну комбінацію such vectorів, що дорівнює zero. Oskilki kozhna zmіnna enter the system obmezhen lishe dvichi, then the basic vectors matimut view:

The linear combination of basic vectors will be:

Abo

. (5.12)

Проте рівність (5.12) superechit умові лінійної незалежності базовних vectorsів, отже, послідовність (5.11) - acyclic.

Dostatnist . The active plan of transport tasks is acyclic. Potrbno show, sho vin є a basic plan, toto bring the line independence of vectors, and create a non-zero-component plan.

Any plan can not accommodate the components, but the number of the lonely independent of the vectors in the obmenezhennii transportnoy problemy zavzhdi dorivnyu m + n - 1, so scho kilkіst vidminnyh vid zero component of the plan, yakshchoo vin oborony, not perevishchu tsiєi magnitudes.

Significantly multiply all zapovnenih klitin through H , and in the vector - . Can be enough, mirkujuchi vіd opposite. Nekhai vector Lіnійно залежні. Розглянемо нульову лінійну комбінацію цих векторів:

. (5.13)

Deykі з зейфіцієнтів Mozut vidriznyasya vid zero. Nekhay one of these things is in the form of the indices , Tobto . Todi vidpovіdny dodanok u рівності (5.13) can be transferred to the left part of the river:

, (5.14)

De .

Оскільки і 1-ша a component in лівій частині (5.14) відмінна від zero, then in the right part of the form, the same as in the first component of the zero-sum component. It is permissible, but . The additional donations can be transferred to the left part (5.14):

, (5.15)

De .

Oskilki (Інакше клітина Was included in the sum (5.13) two) and component Лівої частини (5.15) відмінна від нуля, then in the middle of the right part of the world, there will be one, for one . It is transferred yogo takozh in the left part of the river. Отримаємо:

, (5.16)

De .

Оскільки кількість заповнених клітин, що go in multiply Н, and anneal, і кількість vectorsів Scync and not transfer numbers , Then through N krokіv descriptions of the process of transfer of obovjazyakovo zakinchitsya.

Після деякої непаної кількості кроків Дістанемо рівність:

, (5.17)

De .

Якщо кількість кроків була in pairs, матимемо:

, (5.18)

De .

Розглянемо співвіdosen (5.17). When you are active Sredi dodankіv drugi sumi lіvoi partni znajdetetsya takiy, sho moe іndex . Тоді всі клітини, що були перенесені в ліву частину після Crook, say the cycle.

Analogy mirkulnnia stosuyutsya takozh (5.18).

It is shown, until the process is terminated, vizhodyachi z rivnosti (5.17), obovyazyako matimemo cycle. For Whom it is possible, scho . Тоді, згідно з попередніми міркуваннями, in the right part (5.17) obovvjazko to be known доданок з ідедексами , For anyone , Bo іnakse b rіvnіst (5.17) did not qualify. Otzhe, the process of rescheduling at different times, yakshchio , If you sell out. Prote, vnasledok zgadanoї skinchenostnost protsessen ( N ≤ m • n ) The reasoning of the vicinities of the realities (5.17) and (5.18) is equivalent to that of the vipadoc Obovyazyakovo matiem mіsce, shcho znachatime vospodovu to cycle.

Otzhe, pripuschennia lінійної залежності векторів , Scho describe the рівнянням (5.13), meaning, mean of the middle of the cycles, the cycle, or to superexchange the minds of theorems. It means that the availability of the zagadanoi ichvi, and at the same time і the whole theorem is brought.

Otzhe, basic klitini basic plan zavzhdi utzlyutyu acyclichnu poslidovnist klitin.

THEOREM 5.2. (Naslidok by Theorems 5.1.) The Boo-Yak is a succinctness of Клітин матриці транспортної задачіівівімівів cycle.

Beforehand . Yak was designated, the sukinnnost linіyno nezalezhnih vektorіv zadachi not perevishchu . Otzhe, all sokupnist 'z Vectorів буде лінійно зажною. Yak vyplivaє z upvedennya povodnyoї theorems, views of the clergy zvozhdi yumyotyut cycle.

Otzhe, sukupnist sysіx basic klіtin ta nіnієї вільної клітини таблиці транспортної задачі і zhzhdі yul'yuє cycle.

THEOREM 5.3. Якщо всі запаси І All Consumers Є nevіd'єmnym tsilimi numbers, then be-a kind of a basic plan to store up із znachen, scho і tsіlimi numbers.

Beforehand . Components of skin systems Lіynіyno nezalezhnih (basic) vectorіm mozhut buti filed in viglyadі trikutnoї matrix. Look at the problem (5.1) - (5.4). Matrix of the first Component of basis vectors in systems (5.2), (5.3)

(5.19)

Rozv'yazuvannya sistemi, scho viznachaetsya (5.19), inclusive of deprisi dії додавання та віднімання, і, оскільки That In the setting of transport tasks by č tsilimi numbers, then the value of zmіnnih takozh will be the number of numbers.