Mathematics programmers - Nakonechny S.I.

8.9. Економічна інтерпретація множів Lagrange

Theorem 8.4 can be looked at by a different theorem of two-sided problems of linear programming for non-linear program problems. Umovi (8.39) - (8.41) є the summons of dopovnjujuchoї нежорсткості.

For z'yasuvannya pitannya stasovno ekonomichnogo zmistu mnogozhnov Lagrange rozglyanemo zastosuvannya method Lagrange multiplication to the task of linear programming as a partial vipadku non-linear tasks. Do not ask me the question:

(8.57)

(8.58)

The Lagrange function for problems and visualizations:

Yaksho active zmінний vector (8.57) - (8.58), then the Lagrange function is identical to the function (8.57). Through those shocho vikonuytsya mohvi , Dodanka mind The Lagrangian function becomes permeable to zero .

З необобідних умов існування екстремуму для функції Lagrange can be remembered, it is іstotnoyu for rozglyadu є лише умова рівності ну частинних похідних By Lagrange multipliers. The response, to the problem, is equivalent (8.57), (8.58):

Max (8.59)

(8.60)

Rozglyanemo friend to a group of minds існування екстремальних точок функції Лагранжа, коли частинні похідні по Дорівнютьть zero:

. (8.61)

It is permissible, but the active vector (8.61), then for this function of Lagrange, the vigil is inflated:

.

To Prichom, in order to satisfy myself (8.59), it is necessary to know both the value of the vector, , Tobto comes to such tasks:

, (8.62)

(8.63)

Obviously (Div. 3), the pair of problems (8.57), (8.58) and (8.62), (8.63) are the pair of conjugates of problems (podchatkovuyu that binary), and the Lagrange multipliers - zmіnimi binary tasks .

The oil, - tse dvoysti otsіinki resursiv, "tіnovі" tsіni vіdpovidnih resursіv vibrobitvtva.

Yakshto widen the width of the task to solve the problem of non-linear programming, having reached the tasks (8.57), (8.58) , Then rozv'yavannya possible zdіysnyuvati uzagalnennyam method of Lagrange (§ 8.4).

As a result, the problem is returned to the task, but the vigilant:

,

,

.

Звідси отримуємо економічну інтерпретацію змінних параметів початкої tasks, а and також множів Лагранжа.

Obviously, while laying out the economical statement of tasks, the function of Lagrange and the solution to the problem of the point of view, we can solve the problem economically and interactively. Rozglyanemo the task of non-linear programming stasovno viznachennya optimal plan vibrobitntsva products for the minds of the vicarities of the resources:

,

,

The head meta vibrochnoї system is the maximization of the supply of goods and services. Otzhe, tsіlова функція - tse pributok vіd realizatії produktsії in oksahah , Prichomu - нелінійна. In addition, for viribnitskva produktsii neobhdnee vichoristan m vidiv sirovini, otzhagi dermal form of anchor vidomi i become . Система рівнянь Може бути подана у вигляді: . Tobto, - Obligation і- th kind of sirovini, scho vikoristovuyutsya vibrobitnitsva produkcii in obyazі X , тоді - Lishok і- th resource після виробництва продукції. Yakshto , Then tse znacha, scho on vyrobnitsu produkcii vikoristo not the whole reserve of the resource, but yakshcho - resource vycherpano i yakshchoo , Then it means, ny nayavnії (початкової) кількості сировини недостатньо для виробництва продукції на рівні Х.

Виробнича system zdebіlshogo funktsionuє in the competitive seredovischі, scho characterize the antagonistic inteses.

Yak boolo is shown a thicket, - Цезмінні двоїстої до поставленої певної задачі. Pony mozhut govoryat yourself zinu, for an anchor in a competitive market to sell chi chi kupuyutsya oditnitsya і- th kind of sirovini. Yakshto I , Then such a vibrochnic system can sell siravini and iritima dodatkovy pributok u rozmіrі . Yakshto , Then pidpriemstvo can buy potrybnu kilkіst sirovini, vitrativshi sumu groshen, scho dorivnyuє . Taka zakimіvit dast zmugu zabezpechiti vyrobnitsu produkcii na rivnі X. The Lagrange function and the Lagrange function

Is a zagalny pributok vid vibrobitvtva, which includes the arrival of goods in the real estate of the prepared products That pributok vіd sale лишків сировини (чи витрати на придбання потрібної кількості сировини) .

For tsin , Scho vstanovlyayutsya on the market, vibrochnicha system prague maximize pributok shlyam viznachennya optimal vyrobug vibrobitntsva produkcii . Separate, the value of the Lagrange function for λ *:

.

Oskilki pributok formuyutsya on the competitive rinku, slіd rorakhovuvaty on vstanovlennya tsіn on the resource at the minimum possible rivni, tobto slіd vidshukati

.

Якщо для розглянутої задачіі нелінійного програмування існує сідлова точка , Then you mean, scho існує such a рівень виробництва Ta tsin on the resource , За яких має місце конкурентна рівновага:

=

Oskilki for the Kuhn-Tucker theorem for a syllable point for any values Виконується нерівність:

,

Then it is obvious, that nyako zmіna рівня виробництва Vibrochnicheskoy system not zlіshit pribudku І також ніяка зміна цін на ресурси в ринковому середищі not zmozhe zmenshiti прибутку . Otzhe, sidlovaya point of the Lagrange function - the point of the rinkovoi river valley.

Розглянемо інтерпретацію множів Lagrange. Significantly through A vector with components, that is, to signify a vigilant ith resource for the vibrotic system. Nehai Mean, optimal optimal plan of tasks, є function of the value of the original resources. For proskischenya it is permissible, but functions That , To masturbate powerlessness and diversification. І nareşti, it is permissible takozh, scho kol for i- th resource , Then for small values ​​of the value of the vector B (w0 is knowable through ), Yakі - dosed close to B , takozh vikonuєtsya nervіvnіst .

For the Kuhn-Tucker theorem in the problems of nonlinear programming with alternating-nerves for the optimal task plan, the world of communication ([3]):

.

Vikoristovoychi rule of differentiation of folding functions, you can write taku рівність:

. Vrahovoychi, shcho , Маємо:

.

Teper is permissible, but the action is not active in the B , toto . Todi zgіdno z pokatkovim admissions tse obmezhennya is more active takozh i in the active small point of view. Vrahovoycha tse, matimo:

, De

The oil,

Tom Є marginalnye zmіami optimal znachennosti tsil'ovoy funktsii for zmіni . Analogously, yak i in the problems of linear programming, it is possible vvazhati, scho Approximates the increment of tsil'ovoy functions for zbіlshennya oаvаg of the відповідного і- th resource on oditnitsu. Vigodachi z tsogo, mozhna otsyniti, yak zmіnitsya optimally znachennya tsil'ovoy funktsii for zmіn osyagіv resursiv, not rozv'yazyuchi new problem.