home Other disciplines Books Mathematics programmers - Nakonechny S.I.

Mathematics programmers - Nakonechny S.I.

8.10. Gradient method

The gradient method is easy to cope with until the methods are solved in the form of problems of nonlinear programming and giving the song to the eve of an eagerness, the prichyma for the oath of payment can be paid to the result from the predetermined point of view, or to the extent that it is possible to distinguish the local ekstremumi tsil'oviy funktsii. Zauvazhimo, so tako method can mozhit bouti zashchosovany lishe to the type of tasks of non-linear programming, de tsilova funktsiya i obmezhennaya є difentsitsiovnimi hocha b once. Zrozumilo, scho gradyentnnyi methods give zmogu znachititi points global ekstremumu tiny for tasks of a flawed program, de local and global extensions zbigayutsya.

In the fundamentals of the gradient methods, the main power lies in the strength of the gradient of the different functions - the visibility of the nasvidshtsogo zrostanya tsієї functіії. Іode to the method of polygas at the transition from one point to the other in the straight line of the grades, in advance, set the crook.

Roshglyanemo Frank-Woolf method , the procedure is a kind of perechacha vyznachennya optimal task plan and a checklist of rozv'yakiv, yakі є permissible tasks plans.

Nehai neobhіdno vіdshukati

For lennyih obmezhen:

;

It is permissible, but X 0 is a dot-like point, and it is possible to cover a lot of permissible plans of tasks. In the active part of the world, the non-linear principle of committing to change the lien and the future is the task of a linear program. Нехай розв'язок лінійної задачії giving the value цільової functції F 0, then from the point X 0 to the straight line F 0, it's necessary to dodge the dots, leave not to knit up the function of the tsil'ovoy function. Tobto at the designated straight line vibirajut I will come to the point X 1, the central function is to change the name of the line, and the problem of the linear program is to be solved.

Розглянемо детальніше перехід від k -ої ітерації to the method to ( k + 1) -ої ітерації.

Pripimo, scho vidoma point Xk , yaka nalezhit oblasti permissible rozv'yaziv. At the given point it is computed by the grading of the function:

.

Значення градієнта функції задає в даній точці прям найшвидшого її зростання.

Замінюємо цільову functцію задачі лінійною functцією to mind:

.

Potim rozv'yazemo task lіynіynogo programvannya o obezhennyami pochatkoy tasks and new functionality:

For the mind:

;

.

Nehaj rozv'yakkom takoy uchiі є point .

Z pochatkoy points Straight Rukhaemosya in active dock , Viznachayuchi coordinates of the new points У такий спосіб:

It is commendable that the value of the parameter Доцільно вибирати таким, що дає найбільше значення цільової функції початкової задачі .

For the point Xk + 1, I repeat the rozglyanyuti process, for the sake of the zozovu rozrahovuemo znachennya gradyenta i td.

In such a situation, the point is known , Yaki postupovo close to the optimal plan pochatkoy tasks. Ітераційний process again to the moment, abandonment of the graduation of the tsil'ovoy function not to the point of zero vio vikonuvatimetsya pause , De - to finish the number, yake means pobitnu accuracy is calculated.

Підприємство виробляє два види продукції (А і В) і використовує на виробництво three kinds of resources: І, ІІ, ІІІ. Vitrate resources on the vibrobitsitom odinnitsi of the cutaneous form of the product are given in Table. 8.2.

Table 8.2

Ціна реалізації одниці продукції вид And to become 20 mind. Od., Proteus pributok zalizhit vid vitrat na vyrobnitsvto, yakі proporazatіynі kvadrutu kіlostі vigotovlenoї produkcii. Analogously viznachaetsya pributok for produktsii mind In, tsіna realizatsii yakії дорівнює 18 ум. Od.

Rozvjazannya . Significantly through х 1 кількість продукції вид А, х 2 - кількість продукції вид В, тоді загальний прибуток матиме вигляд: .

A mathematical model of problems and problems:

,

.

The problem is solved by Frank Wolf's method.

І ітерація

Vibirayamo point, scho nalezhit mnogzhin permissive planіv tasks. Rozglyanemo, back-to-back, point .

Viznachimo gradієnt tsіlової функції:

.

In point Обчислюємо значення градієнта:

.

Використовуючи розраховане значення градієнта, записюємо і вводмо нову цільову функцію: . Маємо таку task лінійного програмування:

.

The problem is solved in a simplex method, the optimal plan is known: .

Knowable new permissible plan of tasks, a formula For the origin coordinates of the approach point.

Vx is the coordinate of the point X 1:

, ,

Knows krok Such, for somebody to reach the maximum value of tsil'ovoy functions. For that, the value of the value for x 1, x 2, yakі virazheni through , For the whole function :

We repudiated the function, . Knowable value , For what functionality reaches the maximum, then if it's not enough:

Oskilki , Then take . Todi is at the point X 1 coordinate:

.

For the known point Calculating the value of the function: .

ІІ ітерація

Having taken the point , Обчислюємо значення градієнта в ній:

Використовуючи розраховане значення градієнта, is introduced to the new function: . Otrymuemo taku task lіnіynogo programmuvannya:

.

Rozv'yazavshis її simplex method, otrimyuto optimal plan: .

For the formula Viznachaemo coordinate of the approach point of the approach.

Vx is the coordinate of the point X 2:

,

.

Zajdemo such krok λ2, for a long time to reach the maximum value of the function:

Matimemo .

The coordinates of the approach point X 2 are computable:

For the known point Значення цільової функції дорівнює: .

Prodovzhuyuchi process in the analogous manner, on the third and the last point І переконуємося, що значення цільової функції знову зростає: .

On the fourth stage, the coordinate of the point , For .

V ітерація

Having taken the point , Обчислюємо значення градієнта в ній:

.

Vikoristovoychi znachennya tsiogo vector (gradient), is introduced to the new tsil'ovu funktsiyu: І маємо таку задача лінійного програмування:

,

.

The problem that is solved, the meaning of the optimal plan , Tobto poverataetsya to znakodnogo znachennya. The annunciator, the point with the coordinates Vvazhaetmo optimal plan, oskilki maemo zeroovy graydiєnt functіії, tobto tsei plan polipshiti vzhe not possible.